Bài giảng Giải tích - Chương 5: Ứng dụng của tích phân - Phan Trung Hiếu

10/31/2018
1
LOG
O
Chương 5:
Ứng dụng của tích phân 
GV. Phan Trung Hiếu
§2. Tính diện tích hình phẳng
§4. Tính độ dài của cung
§3. Tính thể tích vật thể
§5. Tính diện tích mặt tròn xoay
§1. Mức biến thiên
2
§1. Mức biến thiên
I. Mức biến thiên:
3
Chúng ta biết rằng F’ (x) là tốc độ biến thiên
của y = F(x) theo x. Khi đó, mức biến thiên của
y khi x biến thiên từ a đến b là
 ( ) ( ) ( )
b
a
F b F a F x dx
4
Ví dụ 5.1: Tốc độ thay đổi dân số của một thành phố A 
được mô hình bởi
trong đó t là thời gian (năm) kể từ năm 1960 và P là
dân số (nghìn người). Biết rằng, năm 1980, thành phố A 
có 790.000 người.
a) Tìm P(t).
b) Tìm dân số của thành phố A vào năm 2012.
 0,026'( ) 11,7. tP t e (nghìn người/năm)
5
§2. Tính diện tích hình phẳng
6
Định lý 2.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục
trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình
thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm
y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là
b
a
S f x dx f x x a b  ( ) , ( ) 0, [ , ].
Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA giới hạn 
bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và hai đường thẳng x
= a, x = b.
I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes:
10/31/2018
2
7
Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường cong , trục hoành, hai đường
thẳng x = 0 và x = 1.
y x 2
Hệ quả 2.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì
b
a
S f x dx ( )
Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2
8
Ví dụ 2.3: Đồ thị của hàm số f được cho bởi
hình vẽ dưới đây.
Tính các tích phân sau
2
0
) ( )a f x dx 
5
0
) ( )b f x dx 
7
5
) ( )c f x dx 
9
0
) ( )d f x dx
9
Hệ quả 2.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a và x = b
thì
b
a
S f x g x dx ( ) ( )
Ví dụ 2.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và trên [-1;1].
y x 3
y x 
Ví dụ 2.5: Tính diện tích của
miền được tô màu
10
Hệ quả 2.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng
y = c và y = d thì
d
c
S f y g y dy ( ) ( )
Ví dụ 2.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
parabol và đường thẳngy x 2 2 6 y x 1.
Ví dụ 2.7: Tính diện tích của
miền được tô màu
11
II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số:
Hệ quả 2.5: Hình thang cong cho bởi
có diện tích là
( )
, [ , ]
( )
 
x x t
t
y y t
S y t x t dt

 ( ). ( )
Ví dụ 2.8: Tìm diện tích dưới một cung của đường
cycloid
sin
, [0,2 ]
1 cos
x t t
t
y t
III. Hệ tọa độ cực:
12
O: cực
Ox: trục cực
r: bán kính cực
 ( , )r : tọa độ cực
 : góc cực
Ta quy ước góc nếu Ox quay theo hướng ngược 
chiều kim đồng hồ.
 0
10/31/2018
3
13
Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị cùng 
xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số
đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ 
cực. 
 ( , )r
3, 2 ,
6
n n
Do đó, nếu quy ước thì mỗi điểm 
P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số duy 
nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O.
r 0 , 0 2
 ( , )r
14
Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho
gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa
hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên
hệ sau
x r
y r
cos ,
sin .
IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực:
15
Xét hàm số . Khi góc cực biến thiên từ 
đến thì điểm P với tọa độ cực vạch nên 
một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường 
cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình 
 ( )r r 
 ( ),r
 ( )r r
Ví dụ 2.9: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm
I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r a 2 cos .
Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn 
tâm I(1,0), bán kính r = 1 là và ta có thể 
vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau
r 2cos
16
17
Ví dụ 2.10: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ 
cực V. Hình thang cong trong tọa độ cực:
18
Hệ quả 2.6: Trong hệ tọa độ cực , cho hình
quạt cong giới hạn bởi . Khi đó,
diện tích của quạt cong là
 ( , )r
r r  ( ), [ , ]
S r d

 2
1 ( )
2
Ví dụ 2.11: Tìm diện tích của hình quạt cong
r cos2 , .
4 4
10/31/2018
4
19
Hệ quả 2.7: Trong hệ tọa độ cực , cho hình
quạt cong giới hạn bởi
Khi đó, diện tích của quạt cong là
 ( , )r
  1 1 2 2 1 2( ), ( ), ( ) ( ), [ , ]r r r r r r

2 2
2 1
1 ( ) ( )
2
S r r d
20
Ví dụ 2.12: Tìm diện tích của hình được tô màu
21
§3. Tính thể tích vật thể
I. Vật thể V bất kỳ:
22
Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với
thiết diện phụ thuộc biến là S(x). Thể
tích của vật thể V sẽ là
x a b [ , ]
b
a
V S x dx ( )
23
Ví dụ 3.1: Tính thể tích hình khối có đáy là
hình tròn bán kính bằng 1, các mặt cắt song
song và vuông góc với đáy là các tam giác đều
như hình vẽ
II. Vật thể tròn xoay:
24
Loại 1: Có thể quay hình thang cong
quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn
xoay có diện tích thiết diện
Vì vậy, thể tích là
y f x x a b  ( ) 0, [ , ]
S x f x 2( ) ( ).
b
a
V f x dx 2 ( )
10/31/2018
5
25
Ví dụ 3.2: Cho miền D giới hạn bởi và
trục Ox. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
quanh trục Ox.
 2 , 0 2,y x x
26
Ví dụ 3.3: Cho miền D giới hạn bởi
như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
quanh đường thẳng y = 1.
 , 1, 4y x y x
27
Loại 2: Có thể quay hình giới hạn bởi
quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn
xoay có thể tích là
  ( ), ( ), ( ) ( ) 0, [ , ]y f x y g x f x g x x a b
2 2( ) ( )
b
a
V f x g x dx
28
Ví dụ 3.4: Cho miền D giới hạn bởi
Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
quanh trục Ox.
 2 4,y x 2,y
 1,x 3.x
29
Ví dụ 3.5: Cho miền D giới hạn bởi
như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
quanh đường thẳng y = -3.
 2 2( ) 2, ( ) 4f x x g x x
30
Ví dụ 3.6: Cho miền D giới hạn bởi
quay quanh Oy. Tính thể tích vật tròn xoay được
sinh ra.
2 ,x
y
 1 4y
10/31/2018
6
31
Ví dụ 3.7: Cho miền D giới hạn bởi
như hình vẽ. Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
quanh đường thẳng x = -2.
 2( ) 9 , 0 3f x x x
32
Loại 3: Cho miền D giới hạn bởi cung
và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
quay quanh Oy thì
y f x x a b ( ), [ , ]
b
a
V xf x dx 2 ( )
33
Ví dụ 3.8: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
(được tô màu như hình vẽ) quay trục Oy.
34
Loại 4: Cho miền D giới hạn bởi
nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ quay
quanh Oy thì
 2 ( ) ( )
b
a
V x f x g x dx
  ( ), ( ), ( ) ( ) 0, [ , ]y f x y g x f x g x x a b
35
Ví dụ 3.9: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay miền D
(được tô màu như hình vẽ) quay trục Oy.
36
§4. Tính độ dài của cung
10/31/2018
7
I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):
37
Đường cong xác định một cung
với độ dài là
y f x x a b ( ), [ , ], AB
b
a
l f x dx 
2
1 ( )
Ví dụ 4.1: Tính độ dài của cung parabol
với
y x ,
x 1 4.
II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số:
38
Đường cong cho bởi
Khi đó có độ dài
( )
, [ , ]
( )
 
x x t
t
y y t
 AB
l x t y t dt

2 2
( ) ( )
Ví dụ 4.2: Tính độ dài cung x t 2 , y t t 3, 0 4.
Ví dụ 4.3: Tính độ dài cung 
4
2
1 ,
8 4
yx
y
 1 2.y
39
§5. Tính diện tích mặt tròn xoay
40
 ABCung xác định bởi hàm quay 
quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích 
y f x x a b ( ), [ , ],
b
AB
a
S f x f x dx 
2
2 ( ) 1 ( )
Trường hợp cung cho bởi phương trình tham số
thì mặt tròn xoay có diện tích 
 AB
( )
, [ , ]
( )
 
x x t
t
y y t
ABS y t x t y t dt

2 2
2 ( ) ( ) ( )
I. Quay quanh Ox:
41
 2) 12 , 0 3b y x x
Ví dụ 5.1: Tìm diện tích của bề mặt được tạo thành
khi quay đường cong sau đây quanh trục Ox.
 ) 2 , 1 2a y x x
cos
) , 0;2
1 sin
x t
c t
y t
42
 ABCung xác định bởi hàm quay 
quanh trục Oy sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích 
 ( ), [ , ],x g y y c d
2
2 ( ) 1 ( )
d
AB
c
S g y g y dy
Trường hợp cung cho bởi phương trình tham số
thì mặt tròn xoay có diện tích 
 AB
( )
, [ , ]
( )
 
x x t
t
y y t

2 2
2 ( ) ( ) ( )ABS x t x t y t dt
II. Quay quanh Oy:
10/31/2018
8
43
 2) , 1 2b y x x
Ví dụ 5.2: Tìm diện tích của bề mặt được tạo thành
khi quay đường cong sau đây quanh trục Oy.
 ) 1 , 0 1a x y y
/2
) , 0;1
4
t
t
x e t
c t
y e
Bài tập Giải tích 
9 
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 
Bài 1: Hiệu quả E của người vận hành máy (tính bằng %) có tốc độ thay đổi theo thời gian t được cho 
bởi biểu thức 30 10 ,dE t
dt
 trong đó t là số giờ mà người vận hành làm việc. 
a) Tìm E(t) biết rằng hiệu quả của người vận hành là 72% sau hai giờ làm việc. 
b) Tìm hiệu quả vận hành sau 3 giờ, sau 5 giờ. 
Bài 2: Tốc độ tăng chi phí sản xuất của một xí nghiệp được cho bởi biểu thức 0,2 8dC Q
dQ
 , trong đó 
Q là sản lượng sản xuất (kg), C là chi phí sản xuất (triệu đồng). Xác định chi phí sản xuất khi tăng sản 
lượng từ 65 kg đến 75 kg. 
Bài 3: Đồ thị của hàm số f bao gồm 
hai đoạn thẳng và nửa đường tròn được cho bởi hình vẽ dưới đây. 
Tính các tích phân sau 
a) 
2
0
( )f x dx 
b) 
6
2
( )f x dx 
c) 
7
0
( )f x dx 
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
a) y x
và y x b) 22 y x x
và 0 x y 
c) 21 x y
và 2 1 x y d) 2 2, y x 2 5 y x , 0, x 6x 
e) 2 xy , 2, y
0 x f) xy e , ,xy xe 
0 x 
g) 2 y x , 2 x y h) 4 ,x y 2 ,y x 
0y 
i) 3,y x y x Bài 5: Tính diện tích của miền được tô màu: 
a) b) 
Bài tập Giải tích 
10 
c) d) 
e) f) 
Bài 6: Tính diện tích của miền bị giới hạn bởi đường astroid 
Bài 7: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong 2 2 ,x t t y t và trục Oy. 
Bài 8: Tính diện tích hình quạt cong
a) 1 cos , r
 0;2 . b) 4 , .
2
r e
c) 2 9sin 2 , 0 .
2
r 
Bài 9: Tính diện tích của miền được tô màu: 
a) b) 
3
3
cos
, [0,2 ].
sin
x t
t
y t
Bài tập Giải tích 
11 
c) d) 
e) f) 
Bài 10: Tính thể tích một hình chóp cụt có đáy dưới là hình vuông cạnh 5 cm, đáy trên là hình vuông 
cạnh 2 cm, và chiều cao 3 cm. 
Bài 11: Tính thể tích một hình khối có đáy là hình elip với đường cong giới hạn có phương trình là 
2 29 4 36x y . Các mặt cắt song song và vuông góc với đáy là các tam giác vuông cân có cạnh huyền 
nằm trong mặt đáy. 
Bài 12: Tính thể tích vật tròn xoay do miền phẳng D giới hạn bởi đường 
a) 2 , 0, 1, 2
2
xy y x x quay quanh Ox. b) 
21 , 0y x y quay quanh Ox. 
c) 1, 0, 5y x y x quay quanh Ox. d) 2 , 0, 9x y x y quay quanh Oy. 
e) 2sin 2 ,0 , 0
2
x y y x quay quanh Oy. f) ln , 1, 2, 0y x y y x quay quanh Oy. 
Bài tập Giải tích 
12 
Bài 13: Tính thể tích vật tròn xoay do miền phẳng D (được tô màu) 
a) b) 
 quay quanh đường y = 2 quay quanh Ox. 
c) d) 
 quay quanh Ox. quay quanh Oy. 
e) f) 
 quay quanh đường y = -1 quay quanh đường x = 2 
Bài tập Giải tích 
13 
g) h) 
 quay quanh đường x = 3 quay quanh Oy 
i) j) 
 quay quanh đường x = -1 quay quanh Oy 
k) l) 
quay quanh Oy quay quanh Oy 
m) n) 
 quay quanh Ox quay quanh Ox 
Bài tập Giải tích 
14 
Bài 14: Tính độ dài của cung 
a) 2 5,y x 
 1;3 .x 
b) 22 ,y x 
 0;1 .x 
c)
3 1 ,
3 4
xy
x
 1;2 .x d) ln(cos ),y x 
0; .
3
x 
e) 1 ( 3)
3
x y y 
 1;9 .y 
f)  
cos
, 0;2 .
sin
x t
t
y t
g)  , 0;3 .
5 2
t tx e e
t
y t
h) 
1cos ln tan 3, ; .2
4 4
sin
x t t
t
y t
Bài 15: Tính diện tích của bề mặt được tạo thành khi quay đường cong sau đây 
a)  , 0;4
2
xy x quanh trục Ox.
b) 2 1 32 , ;
2 2
y x x x 
quanh trục Ox.
c)  , 0;4
2
xy x quanh trục Oy.
d)  
3
, 0;1
3
yx y quanh trục Oy.
e) 52 1, ;1
8
x y y 
quanh trục Oy.
f)  
3
2
3
, 0;1
3
x t t
t
y t
 quanh trục Ox.
g) 
3
3
cos
, 0;
2sin
x t
t
y t
 quanh trục Ox.
h)  
2
3
3
, 0;5
2
x t
t
y t
 quanh trục Oy.