Bài giảng Giải tích - Chương 4: Tích phân - Phan Trung Hiếu

13/10/2018
1
LOG
O
Chương 4:
Tích phân
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Nguyên hàm
§3. Các phương pháp tính tích phân
§2. Tích phân xác định
2
§1. Nguyên hàm
I. Nguyên hàm:
3
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên 
khoảng D.
Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D
( ) ( ), .F x f x x D  
Ví dụ 1.1:
 x2 là nguyên hàm của 2x, vì 2( ) 2 .x x 
 x2 + 3 là nguyên hàm của 2x, vì 2( 3) 2 .x x 
 x2 + C (C là một hằng số) là nguyên hàm của 
2x, vì 2( ) 2 .x C x 
4
Định lý 1.2. Với C là một hằng số tùy ý, nếu
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên D thì
F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
D. Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên D
đều có dạng F(x) + C.
5
II. Tích phân bất định:
trong đó : dấu tích phân.
:x biến lấy tích phân.
( ) :f x hàm lấy tích phân.
Định nghĩa 2.1. Tích phân bất định của hàm
số f trên D là biểu thức diễn tả tổng quát của tất
cả các nguyên hàm của f trên D.
Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) của f được
ký hiệu là
( ) :f x dx biểu thức dưới dấu tích phân.
( ) , f x dx
6
Ví dụ 1.2. 22x dx x C vì 2( ) 2 .x x
Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là
hai thuật ngữ chỉ cùng một nội dung, ta có
( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x 
13/10/2018
2
III. Tính chất:
7
 . ( ) ( )k f x dx k f x dx với k là hằng số khác 0.
 ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
 ( ) ( ) .f x dx f x C
 ( ) ( ).f x dx f x
IV. Bảng công thức tích phân cơ bản:
8
Xem Bảng 4. 
9
§2. Tích phân xác định
I. Công thức Newton-Leibniz:
10
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a 
Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz).
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì tích
phân xác định của f từ a đến b là
II. Tính chất:
11
 ( ) 0
a
a
f x dx
 ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx

b b
a a
k f x dx k f x dx . ( ) . ( ) với k là hằng số
 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
 ( ) 0f x trên [a,b] ( ) 0.
b
a
f x dx
12
§3. Các phương pháp 
tính tích phân
13/10/2018
3
13
 Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho biểu thức còn lại trong hàm số.
Nếu chưa đặt được thì ta tìm cách biến đổi
hàm số.
 t
I. Phương pháp đổi biến số loại 1:
14
Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x ( )dt u x dx 
Bước 2 (thay vào tích phân):
 ( ) ( ) ( )I f t dt F t C F u x C 
Tích phân dạng:  ( ) ( )I f u x u x dx 
15
Tích phân dạng:  ( ) ( )
b
a
I f u x u x dx 
Bước 1 (đổi biến): Đặt ( )t u x ( )dt u x dx 
Bước 2 (đổi cận): x a b
t u(a) u(b)
Bước 3 (thay vào tích phân):
( )
( )
( )
u b
u a
I f t dt 
(cận mới, biến mới).
16
 Dấu hiệu đổi biến thường gặp:
Có Đặt
căn t = căn
và
và
 xe ,xt e const 
ln x lnt x 
1
x
2
1
x
1
x
1
t
x
n(u(x)) t u(x) 
17
Dạng Đặt
có và t = tanx
có và t = cotx
có arcsinx và t = arcsinx
có arccosx và t = arccosx
tan x 2
1
cos x
cot x 2
1
sin x
2
1
1 x
2
1
1 x
18
Dạng Đặt
có arctanx và t = arctanx
có arccotx và t = arccotx
(sin )f x dx cosx sint x 
(cos )f x dx sinx cost x 
2
1
1 x
2
1
1 x
13/10/2018
4
19
Dạng
Đặt
f đổi dấu
f đổi dấu
f không đổi dấu
Tổng quát
(sin ,cos )f x x dx sin sin
Thay
cos cos
x x
x x tant x 
Thay sin sin x x
cost x 
Thay cos cos x x
sint x 
tan
2
x
t
20
Ví dụ 3.1. Tính
1
3 2
0
) 1 b x x dx
4
2
1
)
1 
dx
c
x x
 3 5 2) ( ) (3 1)a x x x dx
 2) (2 ln )
dxf
x x
1
2
2
1/2
1 1) sing dx
xx
tan4
2
0
)
cos
xei dx
x
 2 4) tan tan j x x dx
)
1 
x
x
e dx
e
e
4
)
x
d dx
x
3
11
3) xh dx
x
21
2
2 sin
0
) cos
 xl e xdx
6
0
) (1 cos3 )sin3
 m x xdx
2
7 5
0
) sin cos
 n x xdx
2
6
sin
)
cos 
x
q dx
x
2
sin(2 1)
)
cos (2 1)
x
p dx
x
2 3) cos tan o x xdx
2
arccos
)
1 
x
k dx
x
)
3cos 4sin 5 
dx
r
x x
22
 2) 4 4 5
dxs
x x
sin cos)
sin cos
x xt dx
x x
2
2
0
) 4 2 x xv x e dx 3
sin)
cos
xu dx
x x
23
Phương pháp (đổi biến):
Đặt ( ) x u t ( ) dx u t dt
II. Phương pháp đổi biến số loại 2
 Dấu hiệu đặt thông thường:
Có Đặt
2 2 ( )a u x ( ) sin , ;2 2
u x a t t
2 2( )u x a ( ) , ; \{0}sin 2 2
a
u x t
t
2 2( ) u x a ( ) tan , ;2 2
u x a t t
24
Ví dụ 3.2. Tính
) 1 a x xdx 2 2) , 11
dx
b x
x x
3 2
32
2 3/2
0
)
(4 9) 
x
c dx
x
13/10/2018
5
25
Phương pháp:
Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t =
một biểu thức ở mẫu. Nếu không được thì ta
làm như sau
( )
( )
P x
dx
Q x , P(x), Q(x) là các đa thức.
III. Tích phân hàm hữu tỉ:
26
Mẫu có : Đặt( )nax b . t ax b
Mẫu là tam thức bậc hai 2 : ax bx c
Vô nghiệm và tích phân có dạng ta 
biến đổi .
2
,
dx
ax bx c
2 2 2 ( ) ax bx c a u x
Có nghiệm kép x0 , ta phân tích
2 2
0
( ) ( )
.
( )
P x P x
ax bx c a x x
2 2
0( )ax bx c a x x 
27
Có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích 
1 2 1 2
( )
.
( )( )
P x A B
a x x x x x x x x
2
1 2( )( ). ax bx c a x x x x
Tìm hệ số A, B sao cho
28
Mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2: Ta phân tích
mẫu thành tích dạng lũy thừa của nhị thức hay
lũy thừa của các tam thức vô nghiệm và tìm các
hệ số như sau
1 2 3 1 2 3
A B C
x x x x x x
( )
( )( )( )
P x
x x x x x x 
2 2
1 2 1 2 2( )
A B C
x x x x x x
( )
( )( )
P x
x x x x 
2 2
0 0
A Bx C
x x ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx + c 
trong đó vô nghiệm.2 0 ax bx c
29
2 2 2 2
0 0 0( )
A B Cx D
x x x x ax bx c
( )
( ) ( )
P x
x x ax + bx + c 
2 2 2 2 2
0 0 ( )
A Bx C Dx E
x x ax bx c ax bx c
( )
( )( )
P x
x x ax + bx+ c 
trong đó vô nghiệm.2 0 ax bx c
 Đặc điểm:
-Mẫu là lũy thừa của nhị thức (x - x0): Tử là hằng.
-Mẫu là lũy thừa của tam thức vô nghiệm: Tử
là nhị thức.
2 ax bx c
30
Ví dụ 3.3. Tính
3sin
)
2 cos 
x
a dx
x
1
0
4 3
)
2 1
x
b dx
x
3
)
(2 1) 
xdx
d
x
4 2
3 2
1
( 1)
)
3 4 12 
x
e dx
x x x
3 2
2
2 4 3
)
2 3
x x x
f dx
x x
2
2
( 2)
)
( 1)
x
g dx
x x
2
3 2
2 3 11
)
3 5
x x
h dx
x x x
2
0
)
2 sin
dx
c
x
2
2 2
2 1
)
( 1) ( 1)
x x
i dx
x x
3 2
2 2
2 5 8 4
)
( 2 2)
x x x
j dx
x x
13/10/2018
6
31
2 2) ( 1) 
dx
k
x x
1
)
x
l dx
x
2
2
)
3 2 
x
x x
e dx
m
e e
32
IV. Phương pháp tích phân từng phần:
B1: Đặt 
( ) ( )
( )
u f x du f x
dv g x v
dx
dx Nguyên hàm của g(x)
 Dấu hiệu: có sự xuất hiện của lô (ln, log);
đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác);
mũ (eax+b) liên hệ với nhau bởi phép nhân.
 Phương pháp:
33
B2: Dùng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu 
hoặc
.
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
34
Ví dụ 3.4. Tính
) cos a x xdx
2
0
) sin 2 ln(2 cos )
 h x x dx
2) arccos f x xdx
1
2
0
) xb x e dx
2
1
ln
) 
e x
d dx
x
 ) sinxg e xdx
2) ln( ) c x x dx
 ) arctan 4e xdx
2) ln i x xdx
Bài tập Giải tích 
7 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1: Tính các tích phân sau 
1) 2 2
1
7
5 cos
x
x dx
x
. 2) 
1
2
0
( 1) x xdx . 3) 
3 2
3
xx x e x
dx
x
. 
4) 
2
3
(1 ) 
x
x
e
dx
e
 5) 
3 1
1
x
x
e
dx
e
. 6) 
2
2
0
2cos
2
x
dx . 
7) 2tan xdx . 8) 2(tan cot ) x x dx . 9) 
4
0
1 cos 4
 xdx . 
10) 
2
0
1 cos
2
x
dx . 11) sin cos3 cos5 x x xdx . 12) 2 32 .3 .5 x x xdx . 
13) 
2
3
.
1 9 
dx
x
 14) 
2
2
0
.
8 2 
dx
x
Bài 2: Tính các tích phân sau 
1) 2 10( 3 1) (2 3) x x x dx 2) 32
.
4 
x
dx
x
 3) 
1
2 3
1
3 1 .
 x x dx 
4) 
2
2
1 (1 ) 
dx
x x
. 5) 
3 2
2
.
1 
xdx
x
 6) 
2
.
1
x
dx
x
7) 
2
.
1 
dx
x x
 8) 2 .(1 ) 
x
x
e
dx
e
 9) 1 . x xe e dx 
10) 
2
.
2 3 
X
X
dx 11) 
ln 4
2
0
.
9 
x
x
e dx
e
 12)
21 
 x
dx
e
13) 
4
ln 
e
e
dx
x x
. 14)
ln
1 ln 
x
dx
x x
 15)
2
1 4 ln 
e dx
x x
. 
16) 2
1 1
cos 1 .
dx
x x
 17) 5
1
.
x
dx
x
 18) 
2
cot
.
cos 
xdx
x
19)
21 tan
.
1 tan
x
dx
x
 20) 
2
4
tan
.
cos 
x
dx
x
 21) 
2
/2
2/3
cot
2
sin
2
x
dx
x
. 
22) 
1/2
1/4
arcsin
(1 ) 
x
dx
x x
. 23) 
2
2
(arccos3 )
1 9
x x
dx
x
. 24) 2
arcsin
1 
x
dx
x
. 
25) 3cos sin x xdx . 26)
3
4
sin
.
cos 
x
dx
x
 27) 
2
2
0
sin
.
3 2cos
x
dx
x
Bài tập Giải tích 
8 
28) 
2 2
cos
sin 2 tan 
x
dx
x x
. 29) 5sin cos .
3 3 
x x
dx 30)
2
1 1 1
sin cos . dxx x x 
31) 
22
3
sin
.
1 cos
x
dx
x
 32) 21 sin 1 sin 1 cos 1 . x x x dx 
33) 
4
sin 2
4 sin 
x
dx
x
. 34) 2
sin
(1 sin ) 
x
dx
x
. 35) 
1
31
.
x
x
36) 
1
4
1
12
2
.
4 
dx
dx
x x x
 37) 
4 2
5 3
3 1
5 5
x x
dx
x x x
 38) 3 .1 
x
dx
x
Bài 3: Tính các tích phân sau 
1) 
2 2 1 
dx
x x
. 2)
2
2
.
9 
x dx
x
 3)
2
3
25
, 5.
x dx
x
x
 4) 
4
.
1 
xdx
x
Bài 4: Tính các tích phân sau 
1) 
1
1
x
dx
x
. 2) 
4
2 4 
x
dx
x
. 3)
3 22 7 12 11
2 3
x x x
dx
x
. 
4) 
1 3
2
0
4 10
6
x x
x x
. 5) 
0 3
2
1
.
2 1 
x dx
x x
 6)
2
2
8
5 6
x
dx
x x
. 
7) 
4 3 2
3 2
3
2 4
.
2
x x
dx
x x
 8)
4
4 2
9
.
9
x
dx
x x
 9)
3
3 2
9 3 1
.
x x
dx
x x
10) 
2 4 1
.
1 1 3
x x
dx
x x x
 11)
3 2
4
.
3 10
x
dx
x x x
 12)
 2
6 7
.
2
x
dx
x
13) 
2
2
.
1 ( 2 1) 
x
dx
x x x
 14)
3 2
3
1
3 4
.
x x
dx
x x
 15)
3 2
2 2
2 1
( 1)( 1)
x x x
dx
x x
. 
16) 
2
2 2
2 1
.
( 1)
x x
dx
x
 17)
4
22
81
.
9
x
dx
x x
 18)
2
4
.
1 
x
dx
x
19) 
1
2
0
.
4 13 
x
dx
x x
 20) 
2 4 
dx
x x
. 21)
3
4
2
1
x x
dx
x
. 
22) 
2
sin
cos 3cos 
x
dx
x x
. 23) 2( 2)( 1) 
x
x x
e
dx
e e
. 24) 2( 2)( 1) 
x
x x
e
dx
e e
. 
25) 
1 x
dx
e
. 26) 
sin (1 cos ) 
dx
x x
. 27) 
4cos 3sin 5 
dx
x x
. 
28) 
1 
x
dx
x
. 29) 
2 3 
dx
x x
. 30) 
2 
dx
x x x
. 
Bài tập Giải tích 
9 
31) 
1
3
0
1
.
1 dxx 32) 3 
dx
x x
. 
Bài 5: Tính các tích phân sau 
1) sin .
2 
x
x dx 2) 2 cos . x xdx 3) 
2
1
ln . x xdx 
4) 2 22 1 . xx x e dx 5) 2 cos3 . xe xdx 6) sin ln . x dx 
7) 2ln . x x dx 8) 
arctan
2
arctan
1 
xe x
dx
x
 9)
2
2
ln( 1 )
1
x x x
dx
x
. 
10) 
arctan
2 3/2(1 ) 
xxe
dx
x
. 11)
ln 2
0
 xxe dx . 12) 
1 2
3
0
ln(2 4 1)
( 1)
x x
dx
x
. 
13) 
3
0
arctan x xdx . 14) 
/2
sin
0
sin 2
 xe xdx . 15) 
/2
2
0
(2 1) cos
 x xdx . 
16) 
1
2 2
0
ln(1 ) x x dx . 17) 
2
4
0
sin
 xdx . 18) 2
0
cos
 xe xdx . 
11 
BẢNG 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN 
 (1) 0 dx C 
(2) dx x C Với 0A : 
(3) 
1
1
x
x dx C
11 ( )
( ) ( 1)
1
Ax B
Ax B dx C
A
  
(4) ln ( 0)
dx
x C x
x
1
ln ( 0)
dx
Ax B C Ax B
Ax B A
(5) 2
1 
dx
C
x x
dx . C
A Ax B(Ax B)2
1 1
(6) 
 n n
dx
C
x (n )x 1
1
1
  
 n n
dx
C
A(Ax B) (n )(Ax B) 1
1 1
1
(7) 
dx x C
x
2 (x > 0) 
dx Ax B C
AAx B
2
 (Ax + B > 0) 
(8) 
n nm n mnx dx x C
n m
  
m n mn nn(Ax B) dx (Ax B) C
A n m
1
(9) 
n n m
n m
n
dx x C
n mx
1
  
 n mnmn
n
dx (Ax B) C
A n m(Ax B)
1 1
(10) 
dx ax bln C
(ax b)(cx d) ad bc cx d
1
(11) 
x xe dx e C ( ) ( )
1Ax B Ax Be dx e C
A
(12) 
ln
x
x aa dx C
a
( )
( ) 1 (0 1)
ln
Ax B
Ax B aa dx C a
A a
  
(13) cos sinxdx x C 
1
cos( ) sin( )Ax B dx Ax B C
A
(14) sin cosxdx x C 
1
sin( ) cos( )Ax B dx Ax B C
A
(15) cot ln sin xdx x C 
1
cot( ) ln sin( ) Ax B dx Ax B CA 
(16) tan ln cos xdx x C 
1
tan( ) ln cos( )
 Ax B dx Ax B CA 
(17) 2 tancos
dx
x C
x
 2
1
tan( )
cos ( )
dx
Ax B C
Ax B A
(18) 2 cotsin
dx
x C
x
 2
1
cot( )
sin ( )
dx
Ax B C
Ax B A
12 
(19) 2 2
1
arctan ( 0) 
dx x
C k
k x k k 
  
dx Ax B
arctan C
A k k(Ax B) k2 2
1 1
(20) 
2 2
arcsin ( 0) 
dx x
C k
kk x
dx Ax B
arcsin C
A kk (Ax B)2 2
1
(21) 
2
2
ln
( 0)
dx
x x k C
x k
k
2
2
( )
1
ln ( ) ( )
dx
Ax B k
Ax B Ax B k C
A
(22) 
2
2 2 2 2 arcsin ( 0)
2 2
x k x
k x dx k x C k
k
(23) 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x k
x k dx x k x x k C 
(24) 2 2 2ln
2 2
x k
k x dx k x x k x C