Bài giảng Giải tích - Chương 2: Hàm liên tục - Phan Trung Hiếu

9/16/2019
1
LOG
O
Chương 2:
Hàm liên tục
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Khái niệm
§2. Tính chất của hàm liên tục
2
§1. Khái niệm
I. Hàm số liên tục tại một điểm:
3
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định
trong một khoảng chứa x0. Ta nói:
(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu
(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
4
(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
0
0lim ( ) ( ).x x f x f x 
Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều
sau:
 f(x) xác định tại x0.
 tồn tại.

0
lim ( )
x x
f x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
5
Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián
đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:
 f(x) không xác định tại x0.
 f(x) xác định tại x0, nhưng
0
lim ( )
x x
f x
không tồn tại
hoặc
0
lim ( )
x x
f x
không tồn tại
hoặc
0 0
lim ( ) lim ( ).
x x x x
f x f x
 f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 
0
lim ( )
x x
f x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
6
Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
cũng liên tục tại x0., . , ( 0)
ff g f g g
g
Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
sin 3 khi 0
) ( )
3 khi 0
x x
a f x x
x
tại 0 0.x 
2
2
1 khi 1
) ( )
khi 1
2
x x
b f x x x
tại 0 1.x 
9/16/2019
2
7
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
3
2
2
1 khi 0
( ) ln(1 )
1 khi 0
xe x
f x x
m x
liên tục tại 0 0. x
Ví dụ 1.2: Cho hàm số
tan( ) , 2 ( ).
1 cos
 x xf x x k k
x
Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại 0 0. x
8
Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số
2
3 khi 3,
( ) khi 3,
khi 3.
mx x
f x x n x
x x
liên tục tại 0 3. x
II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 
9
Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)
khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc
(a,b).
Định nghĩa 2.2:
f(x) liên tục trên [a,b]
f(x) liên tục trên (a,b)
lim ( ) ( )
x a
f x f a
lim ( ) ( )
x b
f x f b
10
Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ
thị là một đường liền nét (không đứt khúc)
trên đoạn đó.
Liên tục Không liên tục
a b a b
11
Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác 
định 
2
2 3 khi 0
( ) 1 khi 0 .
3 khi 0
x x
f x x
x x
12
Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số
2
3
2 khi 2
( )
khi 2
mx x x
f x
x mx x
liên tục trên . 
Ví dụ 1.7: Tìm m và n để hàm số
1 khi 1
1( ) khi 1
2
1 1khi
2
x
x
f x mx n x
x
x
liên tục trên . 
9/16/2019
3
13
§2. Tính chất của hàm số liên tục
14
Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân
thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các
hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,
y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
15
Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian):
f(x) liên tục trên [a,b]
 ( ), ( ) N f a f b
( , ) : ( ) .  c a b f c N( ) ( ) f a f b
16
Hệ quả 2.6:
f(x) liên tục trên [a,b]
( ). ( ) 0f a f b ( , ) : ( ) 0.c a b f c  
Ví dụ 2.1: Cho phương trình
a) Chứng minh phương trình có nghiệm trong 
khoảng (0;1).
b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa 
nghiệm của phương trình. 
3cos . x x
Bài tập Giải tích Chương 2 
4 
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước 
1) 
2arcsin( 2 ) khi 0( ) 3
2 / 3 khi 0
x x xf x x
x
 tại 0 0 x . 2) 
2
2
2
ln(1 4 ) khi 0
( ) 1
2 khi 0
x
x x
f x e
x
 tại 0 0 x . 
Bài 2: Cho hàm số ln ln 2( ) , 2.
2
xf x x
x
 Tìm f(2) để hàm số liên tục tại 2. x 
Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm 0 0 x 
1) 4 2
ln(2 cos( )) khi 0
( ) 2
khi 0
mx x
f x x x
m x
. 2) 
2 23 tan sin khi 0( ) .2
khi 0
x x xf x x
m x
Bài 4: Tìm m và n để hàm số 
sin 2 khi 0,
( ) 2 khi 0,
2 1 1
khi 0
m x x
x
f x x
n x
x
x
 liên tục tại điểm 0 0. x 
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định 
1) 
sin( ) khi 1
( ) 1
khi 1
x x
f x x
x
. 2) 
cos khi 1
2( )
1 khi 1
x x
f x
x x
. 
Bài 6: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định 
1) 
5
2
cos khi 0
( )
4 khi 0
mxe x x
f x x
m x
. 
2) 
5
5 3
(1 cos( )).( ) khi 0( )
3 1 khi 0
x xmx e e xf x x x
m x
. 
Bài 7: Cho phương trình ln 3 2 x x . 
a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực. 
b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình.