Bài giảng Giải tích - Chương 1: Giới hạn - Phan Trung Hiếu

9/4/2019
1
LOG
O
GIẢI TÍCH
GV. Phan Trung Hiếu
60 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.
Tải bài giảng và xem thông tin môn học:
5
sites.google.com/site/sgupth
6
Nội dung:
Chương 1: Giới hạn.
Chương 2: Hàm liên tục.
Chương 3: Hàm khả vi.
Chương 4: Tích phân.
Chương 5: Ứng dụng của tích phân.
Chương 6: Tích phân suy rộng.
Chương 7: Lý thuyết chuỗi.
9/4/2019
2
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp tập 2
Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáo
dục.
[3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp
(tập 2), NXB Giáo dục.
Các tài liệu tham khảo khác.
8
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, 
FX 570ES, FX 570ES Plus.
LOG
O
Chương 1:
Giới hạn
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Giới hạn của dãy số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số
10
§1. Giới hạn của dãy số
11
I. Các định nghĩa về dãy số thực:
Định nghĩa 1.1. Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ
*:
( ) .n
f
n f n x
Kí hiệu: 1 2{ } { , ,..., ,...},n nx x x x trong đó:
1 2, ,..., ,...nx x x là các số hạng,
nx là số hạng tổng quát của dãy số.
Nhận xét 1.2. Dãy số hoàn toàn xác định khi
biết số hạng tổng quát của nó.
12
Ví dụ 1.1: Dãy số , với{ }nx
1 .
1n
x
n
Khi đó
1
1 ,
2
x 2
1 ,
3
x 3
1 ,...
4
x 
Ví dụ 1.2: Dãy số , với{ }nx
1 .
!n
x
n n
Khi đó
3
1 ,
3
x 4
1 ,
20
x 5
1 ,...
115
x 
9/4/2019
3
13
Ví dụ 1.3: Dãy số , với{ }nx
1 2 3 ... .nx n 
Tính 
1 1,x 
2 1 2 3,x 
3 1 2 3 6,...x 
1 2 3, , .x x x
Giải
14
Ví dụ 1.4: Dãy số , với{ }nx
2 2 2
1 1 11 1 ... 1
2 3n
x
n
3 2 2
1 1 21 1 .
2 3 3
x 
Tính 3.x
Giải
15
Ví dụ 1.5: Dãy số , với{ }nx
1
2
1 2
1
1 , 3
 n n n
x
x n
x x x
Khi đó 3 2 1 2, x x x
(Dãy Fibonacci)
4 3 2 2 1 3, x x x
5 4 3 3 2 5, x x x
6 5 4 5 3 8,... x x x
 { } 1,1,2,3,5,8,13,21,... nx
16
Chú ý: Một dãy số có thể được minh họa bằng 
cách vẽ các số hạng của nó trên một trục số, hoặc 
vẽ đồ thị của nó.
Ví dụ, xét dãy số , với { }nx 1
 n
nx
n
17 18
Định nghĩa 1.6 
Số được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếua 
0 00, : , .nn x a n n    
Ký hiệu haylim nn x a .
n
nx a
  
9/4/2019
4
19
Chú ý 1.7:
-Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nói dãy {xn}
hội tụ đến a.
-Nếu a không tồn tại hoặc thì ta nói dãy
{xn} phân kỳ.
a 
20
Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
1) lim ( ).
n
k k k
12) lim 0, 0;  n n
1lim 0, 1. 
  nn
0 khi 1,
4) lim
khi 1.
n
n
a
a
a 
3) lim 0, ( 0);
! 
  
n
n
p p
n
lim 0, ( , 1).
  nn
n p
p
21
5) lim 1, 0.n
n
a a
  
7) lim 1 ( ).
  
n
a
n
a e a
n
6) lim 1.n
n
n
8) lim lim( ) 0.n nn nx a x a 
9) lim 0 lim 0.n nn nx x 
10) lim lim , 0.
 n n nn n
x x x
22
II. Các phép toán về giới hạn của dãy số:
Định lý 2.1 
▪Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là
duy nhất.
▪Nếu một dãy số hội tụ thì nó bị chặn.
▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội
tụ.
▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội
tụ.
23
Định lý 2.2. Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều 
có giới hạn thì
) lim( ) lim limn n n nn n ni x y x y 
) lim( . ) lim .limn n n nn n nii x y x y 
lim
) lim (lim 0).
lim
nn n
nn n
n nn
xxiii y
y y
24
Định lý 2.3 (Định lý kẹp):
Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn}. Nếu
*, ,
lim lim
n n n
n nn n
y x z n
y z a
  
thì
lim .nn x a 
9/4/2019
5
25
Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với :
( ) ( ) ,a a 
( ) ( ) ,a a 
, 0,
.( ) ( ).
, 0,
a
a a
a
, 0,
.( ) ( ).
, 0.
a
a a
a
26
( ) ( ) , 
( ).( ) ( ).( ) , 
( ) ( ) , 
( ).( ) ( ).( ) . 
 ta có*,n ( ) ,n 
 0.a 
neáu chaün,
( )
neáu leû.
n n
n
27
:
0
a

a > 0 và mẫu > 0
a < 0 và mẫu < 0
a > 0 và mẫu < 0
a 0
, 
, 
, 
. 
28
§2. Giới hạn của hàm số
I. Hàm số:
29
1.1. Định nghĩa:
Một hàm số f xác định trên một tập hợp là
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số
thực y xác định duy nhất
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.
x: biến độc lập (biến số).
y: biến phụ thuộc (hàm).
f(x): giá trị của hàm số f tại x.
:
( )
f D
x y f x
 D
 x D
( ) { ( ), }:  f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) 
của hàm số f.
30
 ( , ( )) : G x f x x D Đồ thị của hàm số f.
9/4/2019
6
31
Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện 
trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được 
tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa 
đêm).
a) Mức tiêu thụ điện 
vào lúc 6h sáng và 
6h tối là bao nhiêu?
b) Hãy cho biết tập 
xác định và tập giá 
trị của hàm số P(t).
c) Mức tiêu thụ điện 
khi nào là thấp nhất? 
Cao nhất? Thời gian 
đó có hợp lý không?
32
1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số:
 Biểu diễn hàm số bằng biểu thức:
Ví dụ 2.2: Diện tích S của một hình tròn phụ
thuộc vào bán kính R của hình tròn đó. Ta có
2 ( 0). S R R
Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu:
Ví dụ 2.3: Dân số thế giới P phụ thuộc vào
thời gian t
33
a) Tìm dân số thế giới
vào năm 1950?
P(1950) = 2560 (triệu)
b) Tìm t sao cho
P(t) = 4450?
34
Biểu diễn hàm số bằng lời, bằng đồ thị:
Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ
nước (T) trong bình phụ thuộc vào thời gian đun (t).
Ta có đồ thị nhiệt độ nước trong bình như sau
Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu của nước gần với
nhiệt độ trong phòng. Khi ta bật công tắc điện, nhiệt độ
bình tăng lên nhanh chóng. Khi ta ngắt công tắc điện,
nhiệt độ bình giảm không đáng kể. Khi ta tháo nước ra
khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ
của nước ban đầu.
35
Hàm số xác định từng khúc:
Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các
công thức khác nhau trong từng khúc khác
nhau của tập xác định của nó.
36
Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá
3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100
km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì
ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả
thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và
C(x) là chi phí thuê xe. Viết hàm số C(x).
9/4/2019
7
II. Các hàm số cơ bản: 
37
Hàm lũy thừa: ( ).y x 
Hàm mũ: (0 1).xy a a 
Hàm logarit: log (0 1).ay x a 
Hàm lượng giác:
sin , cos , tan , cot . y x y x y x y x
Hàm lượng giác ngược:
arcsin , arccos , arctan , arccot y x y x y x y x
Hàm hằng: . y C
2.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
38
 Chú ý:
sin(arcsin ) ( 1 1).x x x 
arcsin(sin )x x .2 2x
cos(arccos ) ( 1 1).x x x 
arccos(cos )x x (0 ).x 
tan(arctan ) ( ).x x x 
arctan(tan )x x .
2 2
x 
cot(arccot ) ( ).x x x 
arccot(cot )x x (0 ).x 
39
2.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo
thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 2.6: Ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp
sau
1
1 0... .
n n
n ny a x a x a
Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
P(x) và Q(x) là các đa thức.
( )
( )
P xy
Q x
40
Định nghĩa 2.3:
▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm chẵn nếu
▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm lẻ nếu
( ) ( ), .f x f x x D  
( ) ( ), .f x f x x D  
41
Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) là hàm số của
biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến
số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của
biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký
hiệu
 ( )( ) ( ) .f g x f g x 
Ví dụ 2.7: Cho hàm số
Tìm và 
2( ) , ( ) 3. f x x g x x
 f g . g f
III. Định nghĩa về giới hạn của hàm số:
42
Ví dụ 2.8: Xét hàm số khi các giá trị 
của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) 
khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2 
2( ) 2 f x x x
9/4/2019
8
43
Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập
D và hoặc Ta nói hàm số f(x) có
giới hạn là L khi ký hiệu là
Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x)
gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ
gần nhưng không được bằng
Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu
khi
đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về
0x D 0 .x D 
0x x 
0
lim ( )
x x
f x L
( ) f x L 0 x x
0x 0.x
0.x
Ví dụ 2.9: Dự đoán giá trị của 
 8 4 4) lim 2 .xb x x x 21
1) lim .
1x
xa
x 
 44
Định nghĩa 3.2 (Giới hạn một phía):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x0. Ký
hiệu
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0. Ký
hiệu
0x x 0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x L
0x x 0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x L
Định lý 3.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất.
45
Chú ý:
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x L f x f x L
 và
 và


0 0.x x x x 
0 0x x x x
 0.x x 
0 0x x x x
 0.x x 
0
0 0
1
2
1 2
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L
f x L f x
L L
 
 
 
không tồn tại.
46
Ví dụ 2.10: Một bệnh nhân cứ mỗi 4 giờ đồng 
hồ phải tiêm một mũi thuốc 150 mg. Đồ thị cho 
thấy lượng thuốc f(t) trong máu bệnh nhân sau t 
giờ. Tìm và và giải thích ý 
nghĩa của các giới hạn đó. 
12
lim ( )
 t
f t
12
lim ( )
 t
f t
47
Định nghĩa 3.4 (Giới hạn vô cùng):
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi
thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi
thì
0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
Ví dụ 2.11:
20
1lim .
x x
48
Định nghĩa 3.5 (Giới hạn tại vô cùng):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị
chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị
chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x L
lim ( ) 3.
x
f x
lim ( ) 7.
x
f x
lim ( ) .
x
f x L
Ví dụ 2.12:
9/4/2019
9
49
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x
lim ( ) .
x
f x
Ví dụ 2.13:
n lẻ:
lim .
 n
x
x
lim .
 n
x
x
50
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x
lim ( ) .
x
f x
Ví dụ 2.14:
n chẵn:
lim .
 n
x
x
lim .
 n
x
x
IV. Định nghĩa chính xác về giới hạn:
51
Định nghĩa 4.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập
D và hoặc Ta nói hàm số f(x) có
giới hạn là L khi (L, x0 hữu hạn),
ký hiệu là
0x D 0 .x D 
0x x 
0
lim ( )
x x
f x L
00, 0 : , 0 ( ) .x D x x f x L       
52
Ví dụ 2.15: Sử dụng đồ thị f đã cho để tìm một 
số sao cho nếu thì  1x  ( ) 1 0,2.f x 
V. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 
53
5.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: 
Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc 
TXĐ của nó được tính theo công thức
0x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
Ví dụ 2.16: Tính các giới hạn sau
2
1
) lim( 2).
x
a x x
0
sin 3) lim .
cos 
x
xb
x
2
) lim 2.
x
c x
54
Ví dụ 2.17: Cho
21 khi 1,
( )
2, khi 1.
x x
f x
x
Tìm
11 1
lim ( ), lim ( ), lim ( ).
xx x
f x f x f x
Ví dụ 2.18: Tìm m để hàm số sau có giới hạn 
khi 2x 
2
2
1 khi 2
( ) .
2 1 khi 2
x mx x
f x
x x x
9/4/2019
10
V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
55
Xem Bảng 1.
5.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp 
cơ bản: VI. Một số định lý về giới hạn hàm số: 
56
0
lim ( ).
x x
k k k
 ĐL 6.1:
ĐL 6.2: Giả sử
Khi đó: 0 0
lim ( ) , lim ( ) .
x x x x
f x A g x B
 
0
) lim ( ) ( ) .
x x
ii f x g x A B
 
0
) lim ( ). ( ) . .
x x
iii f x g x A B
0
( )) lim ( 0).
( )x x
f x Aiv B
g x B 
 
0 0
) lim . ( ) . lim ( ) ( ).
x x x x
i k f x k f x k
 
0
( )) lim ( ) (0 1).g x B
x x
v f x A A
57
Nếu
thì
0 0
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.
x x x x
i f x f x
)ii
0 0
0 0( ) ( ) ( ), ( , ),
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x f x h x x x x
g x h x L
 
  
0
lim ( ) .
x x
f x L
ĐL 6.3:
58
Chú ý 6.4: Trong tính toán về giới hạn hàm
số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng
vô định:
Khi đó, ta không thể dùng định lý 6.2, mà phải
dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô
định đó.
0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .
0
VII. Vô cùng bé (VCB):
59
Định nghĩa 7.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng
bé khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 
0
lim ( ) 0.
x x
f x
Ví dụ 2.19:
3) 3sin 2b x x 
0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi
0.x là VCB khi
) cos , cotc x x .
2
x là VCB khi
2
1)
2
xd
x
.x là VCB khi
60
Tính chất 7.3
1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.
2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là
một VCB.
3) Thương của hai VCB chưa chắc là một
VCB.
Định lý 7.2.
0
lim ( ) ( ) ( ) 
x x
f x L x f x L là một VCB khi 
0. x x
9/4/2019
11
61
-Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).
Ký hiệu: , nghĩa là nhanh hơn g(x).
0k 
 ( ) ( )f x o g x ( ) 0f x 
-Nếu thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).k 
-Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng 
bậc. Ký hiệu: 
-Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương
đương. Ký hiệu: 
0,k k 
Định nghĩa 7.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x)
là hai VCB khi
Xét
0.x x 
0
( )lim .
( )x x
f x k
g x 
1 k
( ) ( ).f x g x
Một số vô cùng bé tương đương thường gặp
(Xem Bảng 1).
 ( ) ( ) . f x O g x
VIII. Vô cùng lớn (VCL):
62
Định nghĩa 8.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng
lớn khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
Ví dụ 2.20:
0.x 1 1) , , cot
sin
a x
x x
là VCL khi
2) , 2 1b x x .x là VCL khi
63
-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x).
Ký hiệu: , nghĩa là chậm hơn g(x).
0k 
 ( ) ( )f x o g x ( ) f x
-Nếu thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).k 
-Nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng 
bậc. Ký hiệu: 
-Đặc biệt, nếu thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương
đương. Ký hiệu: 
0,k k 
Định nghĩa 8.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x)
là hai VCL khi
Xét
0.x x 
0
( )lim .
( )x x
f x k
g x 
1 k
( ) ( ).f x g x
 ( ) ( ) . f x O g x
64
Tính chất 8.3: Quan hệ trong VI và VII là
quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau
1) ( ) ( ).f x f x
2) ( ) ( ) ( ) ( ).  f x g x g x f x
( ) ( )
3) ( ) ( ).
( ) ( )
 

f x g x
f x h x
g x h x
~
65
§3. Phương pháp tính
giới hạn của hàm số
Phương pháp tính
66
0
lim ( ) :
x x
f x
Thế vào f(x)0x
con số cụ thể 
biện luận
xem ? 
vô định
khử
0 00, , 0. , , 0 , ,1 .
0
9/4/2019
12
67
3.1. Khử dạng và : 0
0
Giả sử là các VCB (hoặc VCL) 
khi . Khi đó 
( ) ( )
3) ( ) ( ) .
( ) 0
k kf x g x f x g x
g x
 
0x x 

0 0
0
( ) ( )
1) lim ( ) lim ( ).lim ( ) x x x x
x x
f x g x
f x g xg x tonà taiï
1 1
1
1
1
1
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( )
2) .( )( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x f x g x
f x f x
f xf x
g x g x
g x g x


1 1( ), ( ), ( ), ( )f x f x g x g x
14)Trong3) : khi ( ) ( ).n nk f x g x
n
 
68
 Chú ý 3.2:
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x g x f x g x
g x g x f x g x f x g x
 
 
69
Ví dụ 3.1: Cho và 
Tính:
a) b)
2( ) 5f x x 2( ) 3.g x x 
( )lim .
( )x
f x
g x 
 lim ( ) ( ) .
x
f x g x
Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau
2
30
2) lim .
3 
 x
x xa
x x
2
2
( 2)( 5 1)) lim .
( 2) 
 x
x x xc
x x
2
3
2 3) lim
2 1 
 x
x xb
x x
22 3 5) lim .
5 1 
 x
x xd
x
70
0
sin 2) lim .
 x
xe
x
20
7arctan
4)lim .
1 xx
x
h
e
30
ln(1 2 )) lim .
1 
 xx
xj
e
20
1 cos3)lim .
x
xg
x
2
0
) lim .
arcsin 3 x
xf
x
20
ln(cos )) lim .
 x
xk
x
0
1 2 1) lim .
tan 3 
x
xi
x
2
1 cos) lim .
( ) 
 x
xl
x
71
Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao):
Nếu đều là tổng của các VCB khác
cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng
giới hạn của tỉ số hai VCB cấp bé nhất trong
0 x x
( ), ( ) x x
( )
( )

x
x
( ), ( ). x x
72
Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi
sao cho
Khi đó:
0x 
( ) , ( )m nf x ax g x bx 
Nếu thì ta không thể viết, 0 m n a b
neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b

( ) ( ) 0. f x g x
9/4/2019
13
73
Ví dụ 3.3:
2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x   
4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x   
Ví dụ 3.4: Tính
2 3
3 80
3sin 4sin) lim .
5x
x x xa
x x x 
30
tan sin) lim .
x
x xc
x
3 5
0
) lim .
 x x
x
e eb
x
74
Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp
thấp):
Nếu đều là tổng của các VCL khác
cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng
giới hạn của tỉ số hai VCL cấp lớn nhất trong
0 x x
( ), ( ) x x
( )
( )

x
x
( ), ( ). x x
75
Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi
sao cho
Khi đó:
x 
( ) , ( )m nf x ax g x bx 
Nếu thì ta không thể viết
neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b

, 0 m n a b
( ) ( ) 0. f x g x
76
Ví dụ 3.5: Tính
2
2
4 2 3lim .
4 
 x
x x x
x x
3.2. Khử dạng : 
Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng 
liên hợp để đưa về dạng 
0
0 .
Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau
3 2
2) lim .3 4 3 2 
 x
x xa
x x 
2) lim 1 .
x
b x x x
hoặc
77
3.3. Dạng : 0 . 00 hoặc .
biến đổi đưa về dạng 
1
1) limsin tan .
2 2
 x
x xb
Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau
3
2 1) lim ( 1) .
2 
 x
xa x
x x
3.4. Dạng :  
0
( )lim ( ) g x
x x
f x
0 00 , ,1 Giới hạn có dạng
Đặt  
0
( )lim ( )
 g x
x x
a f x  
0
( )ln lim ln ( )
 g x
x x
a f x
Ví dụ 3.8: Tính
1
0
) lim(1 ) .
 x
x
a x
3) lim 1 .
x
x
b
x
0
ln lim ( ) ln ( )
x x
a g x f x b
. ba e
78
3.5. Định lý: Nếu và thì lim ( )
x
f x L ( ) nf n x
lim .
 nn x L
Ví dụ 3.9: Tính
2 23 1 2 1) lim .
4 3 
 n
n nb
n
2
(3 1)(2 2)( 1)) lim .
(2 )(2 1) 
 n
n n na
n n n
15 4 1) lim .
2.5 6
n n
n nn
c
12 2) lim ln .
9 4 
 n
nd
n
31 3) lim cos .
2 6 1 
 n
ne n
n n
Bài tập Giải tích Chương 1 
14 
Một số kết quả giới hạn thường gặp 

, chaün
lim ; lim
, le
n n
x x
n
x x
n û 
  
, 1
lim
0, 0 1
0, 1
lim
, 0 1
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a

0
lim ln ; lim ln
x x
x x
 
2 2
lim tan , lim tan
x x
x x
   

0
lim cot , lim cot
x x
x x
  lim arctan
2x
x 
 lim arccot 0, lim arccot
x x
x x 
  Nếu 1, 1  thì lnlim lim 0xx x
x x
x
  
 0
0
1
( )lim 1 ( ) ( ) 0x xu x
x x
u x e u x 
  
 0
0
( )
1lim 1 ( )
( )
u x
x x
x x
e u x
u x
  
Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp 
STT Hàm tương đương 
1 
Với , 0, 0n mm n a a : 
▪ Khi 0 :x 11 ...
n n
n na x a x a x a x
 m mm m 
▪ Khi :x 11 ...
n m
n ma x a x a x a x
 n nn n 
2 0sin ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
3 0arcsin ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
4 0tan ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
5 0arc tan ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
6   0ln 1 ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
7   0( )log 1 ( ) ( ) 0ln
   x xa
u xu x u x
a 
8 0( ) 1 ( ) ( ) 0x xu xe u x u x   
9 0( ) 1 ( ).ln ( ) 0  x xu xa u x a u x 
10   01 ( ) 1 ( ) ( ) 0x xu x u x u x    
11   0
2( )
cos ( ) 1 ( ) 0
2
  x x
u x
u x u x 
Bài tập Giải tích Chương 1 
15 
Bài 1: Ở một tiểu bang, vận tốc tối đa cho phép trên đường cao tốc là 65 dặm/h và tối thiểu là 40 
dặm/h. Tiền phạt nếu vi phạm quy định này là 15 USD cho 1 dặm/h vượt mức tối đa hoặc 1 dặm/h 
thấp hơn mức tối thiểu. Biểu diễn số tiền phạt F dưới dạng hàm số của vận tốc x và đồ thị F(x) với 
0 100.x 
Bài 2: Số lượng con gấu y (con) trong một khu vực theo 
thời gian t (tháng) được biểu diễn bằng đồ thị 
như hình bên. 
a) Tìm 
0.6
lim ( ),
t
y t
0.6
lim ( ),
t
y t
0.6
lim ( ).
t
y t
b) Tìm 
0.8
lim ( ),
t
y t
0.8
lim ( ),
t
y t
0.8
lim ( ).
t
y t
Bài 3: Sử dụng đồ thị f đã cho để tìm một số 
sao cho nếu  0 3x
thì ( ) 2 0, 5.f x 
Bài 4: Sử dụng đồ thị của hàm số ( )f x x đã cho để tìm một số 
sao cho nếu  4x
thì 
 2 0, 4.x 
Bài 5: Tính các giới hạn sau 
1)
7 4
10 5
1 2 1
3 3 50
3 2lim .
4 2x
x x x
x x x
 2)
2
2
1lim .
2 5x
x x
x
 3)
3
2
2 8lim .
1x
x
x
4)
2
3 3
3lim .
1x
x
x
 5)
2
20
sin
3lim .
3x
x
x
 6)
 0
arcsin 2lim .
x
x
x
6)
 0
t an5lim .
s in3x
x
x
 7) 
0
1 cos 4lim .
s in4x
x
x
 8)
 sin
0
1lim .
x
x
e
x
Bài tập Giải tích Chương 1 
16 
9)
 2
20
ln(1 3 )lim .
sin (3 )x
x
x
 10)
 40
1 1lim .
1 1x
x
x
 11)
 0
sin(sin )lim .
sinx
x
x
12) 
20
1 cos 2lim .
tanx
x
x
 13)
 2 35
0
(1 ) 1
lim .
sin 2x
x x
x
14)
 4
sin coslim .
4
x
x x
x
15)
 1
1
1lim .
ln
x
x
e
x
Bài 6: Tính các giới hạn sau 
1)
2 5
7
( 1)(1 2 )lim .
3x
x x
x x
 2)
3
3
2 50
sin( )ln(1 3 )lim .
(arctan ) ( 1)xx
x x
x e
3)
 20
(1 1 )(1 cos 2 )lim .
ln(1 )arcsinx
x x
x x
 4)
4
3 40
(1 )(1 cos )lim .
sin
x
x
e x
x x
5)
 2
0
1 coslim .
s in3x
x
x x
 6)
 2
20
ln(1 2 sin )lim .
s in( ) tanx
x x
x x
7)
32 3
44
1 8lim .
1x
x x x
x
 8)
2
20
coslim .
x
x
e x
x
9)
2 2
30
s in2 arcsin arctanlim .
3 4x
x x x
x x
10)
3 2 4
3 2 30
1 cos 2 sin sin 3lim .
tan 6sin 5x
x x x x x
x x x x
 11)
2
0
lim .
1 sin cosx
x
x x x
12)
 22
arctan(2 ) 2 sin( 2)lim .
4x
x x
x 
13)
 21
cos sin
2lim .
( 1)x
xx
x
14)
2 2
20
2 3lim .
(2 3 )
x x
x xx
 15)
 3
20
cos coslim .
sinx
x x
x
Bài 7: Tính các giới hạn sau 
1) 
 0
2lim cot
s in2x
x
x
. 2) 
2lim
1 1x
x x
x x
. 
2) 2 2lim 1 1x x x x x . 3) 2 2lim 2 2x x x x x x . 
4) 2lim 1 .x x x x 5) 
2
1 sinlim tan
cos 2x
x x
x
. 
6) 
1
lim (1 ) tan
2x
xx . 7) 
lim 2 .sin
x
x
x
. 
8) 
2 2 2 2
30
8lim 1 cos cos cos .cos
2 4 2 4x
x x x x
x
. 9) 
lim arctan .
4 1x
xx
x
Bài tập Giải tích Chương 1 
17 
10) 
3 12 1lim .
2 3
x
x
x
x 
11) 
2cot2
0
lim 1 .
x
x
x
12) 
1
2
0
lim 1 sin( ) .x
x
x x
13) 
1
sin
0
1 tanlim
1 sin
x
x
x
x
.
14) 
sinlim .
2 7 5 sinx
x x
x x
Bài 8: Một cái bể chứa 5000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm nước muối có chứa 30 gam muối trên 
mỗi lít nước vào bể với tốc độ 25 lít/phút. 
a) Tìm nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng gam/lít). 
b) Nồng độ muối trong bể sẽ như thế nào khi t ? 
Bài 9: Tính các giới hạn sau 
1) 
32
2
3 2lim .
4 2 7n
n n
n n 
 2) 
2 3
2
2.7 4 1lim .
7 3.5
n n
n nn
3) 
2
34
1lim .
n
n n
n n n 
 4) 
3 2 3
2
2lim .
n
n n n
n n n 
5) ( 1) 2 .sinlim .
1
n
n
n n
n