Bài giảng Dao động kỹ thuật - Đặng Văn Hiếu

1ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC
2TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Dao động kỹ thuật, Nguyễn Văn Khang, NXB Khoa học và
kỹ thuật.
2. Bài tập dao động kỹ thuật, Nguyễn Văn Khang và nhiều
nk, NXB Khoa học và kỹ thuật.
3. Lý thuyết dao động, Lê Xuân Cận (dịch), NXB Khoa học
và kỹ thuật.
4. Dao động tuyến tính, Nguyễn Đông Anh (dịch), NXB Khoa
học và kỹ thuật.
3NỘI DUNG
Chương mở đầu: Các khái niệm cơ bản của lý
thuyết dao động.
Chương 1: Dao động tuyến tính của hệ một bậc
tự do.
Chương 2: Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc
tự do.
4Chương mở đầu
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG
1. Định nghĩa dao động.
2. Mô tả động học các quá trình dao động.
3. Phân loại hệ dao động.
51. Định nghĩa dao động
Dao động là một hiện tượng phổ biển trong tự nhiên và trong
kỹ thuật.
Các máy, các phương tiện giao thông vận tải, các toà nhà cao
tầng, những cây cầu, đó là các hệ dao động.
Dao động là gì?
Dao động là một quá trình trong đó một đại lượng vật lý (hoá
học, sinh học,) thay đổi theo thời gian mà có một đặc điểm
nào đó lặp lại ít nhất một lần.
6Dao động có lợi hay có hại?
Dao động vừa có lợi, vừa có hại.
™ Lợi : Dao động được sử dụng để tối ưu hoá một số kỹ thuật
như: đầm, kỹ thuật rung 
™ Hại: Giảm độ bền của máy, gây ra hiện tượng mỏi của vật
liệu dẫn tới phá huỷ, ảnh hưởng đến tuổi thọ của các công
trình,....
72. Mô tả động học các quá trình dao động
a. Dao động điều hoà.
Ví dụ hàm điều hoà?
Ví dụ: sin( ), os( )t c tω α ω α+ +
Dao động được mô tả về mặt toán học bởi các hàm điều hoà
được gọi là dao động điều hoà.
8Xét dao động được mô tả bởi:
( ) sin( )x t A tω α= +
t
x(t)
A
-A
T
Trong đó:
ω : tần số vòng (rad/s).
T=2π/ω: Chu kỳ dao động (s).
A : biên độ dao động (m).
ωt + α : pha dao động (rad).
α : pha ban đầu (rad).
f = 1/T : tần số (HZ).
(1)
9b. Dao động tuần hoàn.
Hàm tuần hoàn?
Hàm số x(t) được gọi là hàm tuần hoàn, nếu tồn tại một hằng
số T > 0 sao cho với mọi t ta có hệ thức:
( ) ( ),x t T x t t+ = ∀
Một quá trình dao động được mô tả về mặt toán học bởi một
hàm tuần hoàn x(t) được gọi là dao động tuần hoàn.
(2)
10
Min(x)
Max(x)
x(t)
t
T
Hằng số T nhỏ nhất để cho biểu thức (2) được thoả mãn gọi
là chu kỳ dao động.
Biên độ A của dao động tuần hoàn x(t) được định nghĩa bởi
công thức sau:
[ ]1 max ( ) min ( )
2
A x t x t= −
11
c. Dao động họ hình sin.
+ Một quá trình dao động được mô tả về mặt toán học bởi
hàm: [ ]( ) ( )sin ( ) ( )x t A t t t tω α= + (3)
được gọi là dao động họ hình sin.
+ Dao động tắt dần:
[ ]0( ) sin ( ) ( ) , 0tx t A e t t tδ ω α δ−= + >
+ Dao động tăng dần:
[ ]0( ) sin ( ) ( ) , 0tx t A e t t tδ ω α δ= + >
Dao động mà biên độ A(t) thay đổi luân phiên được gọi là
dao động biến điệu biên độ.
Dao động mà tần số ω(t) thay đổi luân phiên được gọi là dao
động biến điệu tần số.
12
3. Phân loại hệ dao động
a. Căn cứ vào cơ cấu gây nên dao động:
+ Dao động tự do.
+ Dao động cưỡng bức.
+ Dao động tham số.
+ Tự dao động.
+ Dao động hỗn độn.
+ Dao động ngẫu nhiên.
13
b. Căn cứ vào số bậc tự do:
+ Dao động của hệ một bậc tự do.
+ Dao động của hệ nhiều bậc tự do.
+ Dao động của hệ vô hạn bậc tự do.
c. Căn cứ vào phương trình chuyển động:
+ Dao động tuyến tính.
+ Dao động phi tuyến.
d. Căn cứ vào dạng chuyển động:
+ Dao động dọc.
+ Dao động xoắn.
+ Dao động uốn.
14
Chương 1
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO
1.1. Dao động tự do không cản.
1.2. Dao động tự do có cản.
1.3. Dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động điều
hòa.
1.4. Dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động đa
tần và chịu kích động tuần hoàn.
1.5. Dao động cưỡng bức của hệ chịu kích động bất
kỳ.
15
§1. Dao động tự do không cản
1.1. Một số ví dụ.
™ Thí dụ 1: Dao động của một vật nặng treo vào lò xo.
m
c
x
Vị trí cb tĩnh0mx cx+ =&&
Æ Phương trình dao động:
(1)
16
™ Thí dụ 2: Dao động của con lắc toán học. O
L
m
φ
Æ Phương trình dao động:
sin 0g
l
ϕ ϕ+ =&&
Xét dao động nhỏ:
0g
l
ϕ ϕ+ =&& (2)
™ Thí dụ 3: Dao động của con lắc vật lý.
O
m, Jo
φ
C
a
Æ Phương trình dao động:
sin 0
o
mga
J
ϕ ϕ+ =&&
Xét dao động nhỏ:
(3)0
o
mga
J
ϕ ϕ+ =&&
17
™ Thí dụ 4: Dao động xoắn của trục mang đĩa tròn.
C
φ
J
Æ Phương trình dao động:
0c
J
ϕ ϕ+ =&& (4)
Kết luận: Dạng của phương trình dao động tự do của hệ
một bậc tự do có dạng chung là:
0mq cq+ =&& (5)
Trong đó q là tọa độ suy rộng.
18
1.2. Tính toán dao động tự do không cản.
Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ một bậc
tự do không cản có dạng:
2 0oq qω+ =&& (6)
Trong đó ωo là tần số dao động riêng.
Điều kiện đầu: to= 0 : 0( ) oq t q=
0( ) oq t q=& &
(7) 
0m q cq+ =&&
Hay:
19
Nghiệm của phương trình vi phân (6) có dạng:
1 2 sino oq C cos t C tω ω= + (8)
Trong đó C1 và C2 là các hằng số tuỳ ý, được xác định
từ điều kiện đầu (7).
Cho nghiệm (8) thoả mãn điều kiện đầu (7), ta xác định
được:
1 2, oo
o
qC q C ω= =
&
Vậy :
sinoo o o
o
qq q cos t tω ωω= +
&
(9)
20
Nghiệm (9) còn có thể viết dưới dạng:
s in ( )oq A tω α= +
Trong đó:
2
2 2 2
1 2
o
o
o
qA C C q ω
⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
&
1
2
o
o
o
qCtg
C q
α ω= = &
(11)
(10)
21
Từ biểu thức (10) ta thấy: dao động tự do không cản của
hệ một bậc tự do được mô tả bởi hàm điều hoà. 
Vì vậy, dao động tự do không cản còn được gọi là dao
động điều hoà.
™ Đặc trưng:
A :được gọi là biên độ dao động.
ωo :được gọi là tần số riêng.
ωot + α :được gọi là pha dao động.
α :được gọi là pha ban đầu.
T = 2п/ωo :được gọi là chu kì dao động.
22
™ Tính chất chuyển động:
9 Tần số riêng và chu kì dao động không phụ thuộc
vào các điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các tham
số của hệ.
9 Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và
pha ban đầu của dao động tự do không cản phụ thuộc
vào các điều kiện đầu và các tham số của hệ.
Chú ý: Việc xác định tần số dao động riêng là nhiệm vụ
quan trọng nhất của bài toán dao động tự do.
23
§2. Dao động tự do có cản
Trong phần này chúng ta khảo sát dao động tự do của hệ
có xét đến ảnh hưởng của lực cản.
Lực cản được xét ở đây là lực cản nhớt tỷ lệ bậc nhất với
vận tốc.
24
bc
q
M
Xét dao động của hệ mô tả trên hình vẽ. 
Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ có
dạng:
0m q b q c q+ + =&& & (1)
Nếu đưa vào các ký hiệu:
2 , 2o
c b
m m
ω δ= = (2)
Thì phương trình (1) có dạng:
22 0oq q qδ ω+ + =&& & (3)
Đây là phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng số.
25
Phương trình vi phân (3) có phương trình đặc trưng:
2 22 0oλ δ λ ω+ + = (4)
Tuỳ theo quan hệ giữa δ và ωo, có thể xảy ra các
trường hợp sau:
oδ ω< (lực cản nhỏ) : 2 21,2 oiλ δ ω δ= − ± −
oδ ω≥ (lực cản lớn) : 2 21,2 oλ δ δ ω= − ± −
Sau đây ta sẽ khảo sát từng trường hợp ở trên.
26
trường hợp thứ nhất : oδ ω< (lực cản nhỏ) :
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dao động
(3) có dạng:
1 2( ) ( sin )
tq t e C cos t C tδ ω ω−= + (5)
Trong đó:
2 2
oω ω δ= − (6)
Các hằng số C1 và C2 được xác định từ điều kiện đầu:
0 : (0) , (0)o ot q q q q= = =& &
27
Từ các điều kiện đầu đã cho, ta xác định được:
1 2, o oo
q qC q C δω
+= = &
Nếu đưa vào các hằng số: 
2 2 1
1 2
2
, CA C C tg
C
β= + =
Thì biểu thức nghiệm (5) có thể viết dưới dạng: 
( ) s in ( )tq t A e tδ ω β−= + (7)
28
Tính chất nghiệm:
9 Khi lực cản nhỏ, hệ thực hiện dao động tắt dần.
9 Độ lệch giảm theo luật số mũ, tiệm cận tới
không.
9 Dao động được mô tả bởi phương trình (7) là dao
động họ hình sin.(hình vẽ)
tAe δ−
29
Đặc trưng:
Chuyển động của cơ hệ được mô tả bởi quy luật
không tuần hoàn, nhưng toạ độ q lại đổi dấu một cách
tuần hoàn. 
Quy ước:
2 2
oω ω δ= − là tần số riêng của dao động tắt dần.
2 /T π ω= là chu kỳ của dao động tắt dần.
tAe δ− là biên độ của dao động tắt dần.
30
Chú ý:
Để đặc trưng cho độ tắt dần của dao động tự do có cản
nhớt, ta đưa vào khái niệm độ tắt Lôga.
( )ln
( )
q t T
q t T
δΛ = =+
Độ tắt Lôga đặc trưng cho độ giảm biên độ của dao
động tắt dần.
Ta còn xác định độ tắt Lôga như sau:
( )
( )
( )
t
kT
t kT
q t e e
q t kT e
δ
δ
δ
−
− += =+
Từ đó: 1 ( )ln
( )
q tT
k q t kT
δΛ = = +
31
trường hợp thứ hai : oδ ω> (lực cản lớn) :
Nghiệm tổng quát của phương trình (3) có dạng:
2 2( ) ( )t oq t Ae sh t
δ δ ω β−= − + (8)
Đường biểu diễn nghiệm q(t) cắt trục t không quá một
lần (đồ thị). 
Do đó, chuyển động của hệ là chuyển động tắt dần, 
không dao động.
( )q t
t
0oq >&
0oq =&
2o oq qλ<&
32
trường hợp thứ ba : oδ ω= (lực cản tới hạn) :
Trong trường hợp này nghiệm của phương trình đặc
trưng là các số thực âm và bằng nhau. Nghiệm tổng
quát của phương trình (3) có dạng:
1 2( ) ( )
tq t e C t Cδ−= + (9)
Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động.
33
Chú ý:
Trong một số tài liệu viết về Dao động kỹ thuật, người ta
còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr. Độ cản Lehr được
xác định bởi:
2 2o o
b bD
m mc
δ
ω ω= = = (10)
Phương trình vi phân dao động tự do có cản nhớt (3) có
thể viết lại:
22 0o oq D q qω ω+ + =&& & (11)
34
Do:
2 2 21o o Dω δ ω− = −
Nên chuyển động của hệ được phân thành ba trường
hợp sau:
1 ( )oD δ ω< < : độ cản nhỏ.
1 ( )oD δ ω= = : độ cản tới hạn.
1 ( )oD δ ω> > : độ cản lớn.
Mặt khác, ta có quan hệ giữa độ tắt Lôga và độ cản
Lehr:
2
2
1
DT
D
δ πΛ = = −
35
O
b
c
a
a
m
φ
Ví dụ: Gắn một khối lượng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh
các phần tử cản và đàn hồi (hv). Bỏ qua khối lượng của
thanh.
- Phải chọn độ lớn của hệ số cản b như thế nào để hệ có
dao động nhỏ.
- Xác định độ cản Lerh D cần thiết để sau mười dao động
biên độ giảm còn 1/10 biên độ của chu kỳ đầu, sau đó xác
định chu kỳ dao động.
36
§3. Dao động cưỡng bức của hệ
chịu kích động điều hòa.
3.1. Một số kích động thường gặp.
3.2. Dao động cưỡng bức không cản.
3.3. Dao động cưỡng bức có cản.
37
™ Kích động lực:
c b
m
y
F(t)
Phương trình vi phân dao động:
ˆ( ) sinm y b y c y F t F t+ + = = Ω&& &
3.1. Một số kích động thường gặp.
38
™ Kích động bởi khối lượng lệch tâm:
Phương trình vi phân dao động:
2
1 sinm y b y c y me t+ + = Ω Ω&& &
Trong đó: 1om m m= +
c b
y mo
m1
Ωt
e
39
™ Kích động bằng lực đàn hồi:
m
b
c1
x
u(t)
co
Phương trình vi phân chuyển động:
ˆ( )o om x b x c x c u t c u sin t+ + = = Ω&& &
1 oc c c= +Với:
40
™ Kích động động học:
c b
m
y
u(t)
Phương trình vi phân chuyển động:
ˆ ( sin )m y b y c y u c t b cos t+ + = Ω + Ω Ω&& &
Với: ˆ( ) sinu t u t= Ω
41
™ Kích động bằng lực cản nhớt:
m
b1
c
x
u(t)
bo
Phương trình vi phân chuyển động:
ˆom x b x c x b u cos t+ + = Ω Ω&& &
Với: ˆ( ) sinu t u t= Ω
42
Kết luận:
Qua các ví dụ trên ta thấy: Phương trình dao động
tuyến tính của hệ một bậc tự do chịu kích động điều
hoà có dạng:
1 2sinmq bq cq H t H cos t+ + = Ω + Ω&& &
9 Phương trình trên còn có thể viết lại dưới dạng:
2
1 22 sinoq q q h t h cos tδ ω+ + = Ω + Ω&& &
Với: 2 / , 2 / .o c m b mω δ= =
9 Hoặc phương trình VPCĐ còn viết được dưới dạng:
2
1 22 sino oq D q q h t h cos tω ω+ + = Ω + Ω&& &
Trong đó:
2o
bD
cm
δ
ω= =
43
3.2. Dao động cưỡng bức không cản
Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ một
bậc tự do có dạng:
sinm q c q H t+ = Ω&& (1)
Phương trình trên còn có thể viết lại:
2 sinoq q h tω+ = Ω&& (2)
Trong đó:
2 ;o
c Hh
m m
ω = =
44
Nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng:
1 2 2 2( ) sin sino o
o
hq t C cos t C t tω ω ω= + + Ω−Ω (3)
Các hằng số C1 và C2 được xác định từ điều kiện đầu. 
Giả sử điều kiện đầu:
0 : (0) , (0)o ot q q q q= = =& &
Cho nghiệm (3) thoả mãn điều kiện đầu, ta được:
1 2 2 2; ( )
o
o
o o o
q hC q C ω ω ω
Ω= = − −Ω
&
45
Như vậy, nghiệm (3) có dạng:
2 2
2 2
( ) sin sin
( )
sin
o
o o o o
o o o
o
q hq t q cos t t t
h t
ω ω ωω ω ω
ω
Ω= + − +−Ω
+ Ω−Ω
&
(4)
Nghiệm (4) gồm hai thành phần:
9 Ba số hạng đầu tiên biểu thị dao động tự do với tần
số là tần số riêng của hệ.
9 Số hạng thứ tư biểu thị dao động cưỡng bức với tần
số là tần số của lực kích động.
46
Chú ý rằng khi: 0o oq q= =& thì nghiệm (4) có dạng:
2 2 2 2( ) sin sin( ) oo o o
h hq t t tωω ω ω
Ω= − + Ω−Ω −Ω (5)
Số hạng thứ nhất của (5) được gọi là thành phần dao
động tự do kéo theo.
Sau một khoảng thời gian nào đó, do ảnh hưởng của lực
cản nên các thành phần mô tả dao động tự do của hệ sẽ
mất đi Æ hệ chỉ còn thực hiện dao động cưỡng bức với
tần số là tần số của lực cưỡng bức.
Giai đoạn đầu còn tồn tại cả dao động tự do và dao động
cưỡng bức được gọi là giai đoạn chuyển tiếp.
Giai đoạn chỉ còn tồn tại dao động cưỡng của hệ được
gọi là giai đoạn bình ổn.
47
Đối với giai đoạn bình ổn, quy luật dao động của hệ sẽ là:
2 2 2*( ) sin sin(1 )o
h Hq t t t
cω η= Ω = Ω−Ω − (6)
Trong đó: / oη ω= Ω
Chú ý: Thừa số H/c chính là dịch chuyển gây ra bởi lực
tĩnh H đặt vào vật dao động.
Đại lượng:
2
1( )
1
V η η= −
Æ biểu thị tác dụng động lực của lực kích động, và được
gọi là hàm khuyếch đại (hệ số động lực)
48
Dạng đồ thị của V cho bởi hình sau:
1
1 η
V
0
Ta thấy: khi tỷ số Ω/ωo dần đến 1 thì V và do đó dao
động cưỡng bức tăng lên nhanh chóng và tiến tới vô
cùng khi Ω = ω0. Hiện tượng đó gọi là hiện tượng cộng
hưởng.
Như vậy, hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng biên độ
dao động cưỡng bức tăng lên rất lớn do tần số của lực
kích động trùng với tần số dao động riêng của hệ.
49
¾ Xét nghiệm (5) với giả thiết: oωΩ ≈
2 2 2 2( ) sin sin( ) oo o o
h hq t t tωω ω ω
Ω=− + Ω−Ω −Ω
Đặt : 
(5)
2oω εΩ = +
trong đó ε là đại lượng vô cùng bé.
Sau một số phép biến đổi, nghiệm (5) đưa về dạng:
sin( ) cos
2
h tq t tεε≈ − ΩΩ (7)
Do ε là một vô cùng bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, 
còn chu kỳ của nó 2п/ε rất lớn. Hiện tượng dao động
được cho bởi (7) gọi là hiện tượng phách.
50
Đồ thị của hàm (7) cho bởi hình vẽ sau:
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t(s)
q
(
m
)
51
¾ Xét trường hợp ( 0)oω εΩ→ →
Khi đó có thể thay sinεt bằng εt trong nghiệm (7), và ta
có:
2 oo
htq cos tωω= − (8)
Biên độ ht/2ωo tăng lên vô hạn khi thời gian t tăng. 
Như thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến 
tính không cản, sự tăng biên độ lên vô hạn ở vùng cộng
hưởng cũng đòi hỏi phải có thời gian. 
Đối với các máy được thiết kế làm việc ở vùng cộng
hưởng, khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng hưởng
cần phải khẩn trương cho vượt qua đủ nhanh.
52
Đồ thị của nghiệm (8) cho bởi hình sau đây:
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
t(s)
q
(
m
)
53
Kết luận: Khi tính toán dao động cưỡng bức không cản
ta cần phân ra 2 trường hợp:
Trường hợp xa cộng hưởng ( ).
Trường hợp gần cộng hưởng ( ). Trong trường
hợp này khi ta có hiện tượng phách, khi
ta có hiện tượng cộng hưởng.
oωΩ≠
oωΩ ≈
2oω εΩ = +
oωΩ =
54
3.3. Dao động cưỡng bức có cản nhớt
Phương trình vi phân dao động trong trường hợp này:
2
1 22 sinoq q q h t h cos tδ ω+ + = Ω + Ω&& & (1)
Nghiệm riêng của phương trình (1) được tìm dưới dạng:
* ( ) s inq t M t N c o s t= Ω + Ω (2)
Thay (2) vào (1) ta xác định được:
2 2
1 2
2 2 2 2 2
( ) 2
( ) 4
o
o
h hM ω δω δ
− Ω + Ω= − Ω + Ω
2 2
1 2
2 2 2 2 2
2 ( )
( ) 4
o
o
h hN δ ωω δ
− Ω + − Ω= − Ω + Ω
(3)
55
Nghiệm tổng quát của phương trình (1):
( ) sin( ) sintq t Ae t M t Ncos tδ ω β−= + + Ω + Ω (4)
Số hạng thứ nhất của (4) biểu diễn thành phần dao động
tự do tắt dần. Hai số hạng sau c ... g d
δ τ ω τ τ τω
− −= −∫ (16)
là nghiệm riêng của phương trình (2).
Các hằng số A và B trong nghiệm (14) được xác định từ
điều kiện ban đầu.
Giả sử điều kiện đầu:
(0) ; (0)o oq q q q= =& &
Æ Ta xác định được:
1; ( )o o oA q B q qδω= = +&
77
Cuối cùng ta có biểu thức nghiệm tổng quát của 
phương trình vi phân (2):
( )
0
1( ) ( ( ) sin )
1 sin ( ) ( )
t
o o o
t
t
q t e q cos t q q t
e t g d
δ
δ τ
ω δ ωω
ω τ τ τω
−
− −
= + + +
+ −∫
&
(17)
78
1. Thành lập phương trình vi phân dao động
2. Dao động tự do không cản
3. Dao động tự do có cản
4. Dao động cưỡng bức
Chương 2
DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ
NHIỀU BẬC TỰ DO
79
Giới hạn: trong chương này, chỉ xét hệ cơ học chịu
liên kết hôlônôm, lý tưởng; hệ n bậc tự do cần n toạ độ
suy rộng độc lậpÆ Hệ dao động là hệ n phương trình
vi phân cấp 2 hệ số hằng số.
80
§1. Thành lập phương trình VPCĐ
A. Sử dụng phương trình Lagrange II
Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ
độ suy rộng độc lập q1, q2,..., qn, phương trình Lagrange 
II có dạng:
; 1i
i i
d T T Q i n
dt q q
⎛ ⎞∂ ∂− = = →⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠&
81
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế:
0 ; 1
i i
d L L i n
d t q q
⎛ ⎞∂ ∂− = = →⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠&
L là hàm Lagrange : L T= − Π
82
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và
lực cản nhớt:
; 1i i
i i i i
d T T Q Q i n
dt q q q q
π φ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Π ∂Φ− = + = − − = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
Trong đó: Π - Là thế năng; Φ - Là hàm hao tán
Phương trình trên còn có dạng: 
0; 1
i i i
d L L i n
dt q q q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Φ− + = = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
83
™ Nếu các lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế và
lực cản nhớt còn có các ngoại lực khác (lực kích
động) phụ thuộc vào thời gian t:
; 1Pi
i i i i
d T T Q i n
dt q q q q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Π ∂Φ− =− − + = →⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠& &
P
iQ : Là lực suy rộng ứng với các lực hoạt động.
84
B. Sử dụng phương pháp lực (ĐS)
Phương pháp này thường sử dụng để lập phương trình vi 
phân chuyển động cho hệ cơ học có dạng dầm, khung,
85
§2. Dao động tự do không cản
a. Các tần số riêng và các dạng dao động riêng.
b. Tính chất trực giao của các véctơ riêng.
c. Các toạ độ chính.
d. Các toạ độ chuẩn.
86
a. Các tần số riêng và các dạng dao
động riêng
™ Phương trình vi phân mô tả dao động tự do không cản
của hệ n bậc tự do có dạng:
0M q C q+ =&& (1)
Trong đó M và C là các ma trận vuông cấp n có các phần
tử là hằng số.
M là ma trận khối lượng; C là ma trận độ cứng.
87
™ Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng:
sin( )q a tω α= +
(3)
Thế (2) vào (1), biến đổi ta nhận được phương trình:
( )2 0C M aω− =
Để cho phương trình ĐSTT (3) có nghiệm không tầm
thường, điều kiện cần là: 
2 0C Mω− =
(2)
(4)
88
Phương trình (4) là phương trình đại số bậc n đối với ω2
và được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình
đặc trưng.
Các nghiệm ωk (k = 1, 2,n) của phương trình đặc
trưng được gọi là các tần số riêng.
Thay lần lượt các giá trị của ωk (k = 1, 2,n) vào
phương trình (3) ta nhận được các hệ phương trình đại
số tuyến tính thuần nhất để xác định các thành phần của
vectơ ak
( )2 0k kC M aω− =
Các vectơ ak này được gọi là các vectơ riêng.
(5)
89
Chú ý: Các thành phần của vectơ ak được xác định sai
khác nhau một hằng số nhân. Chẳng hạn ta có thể
chọn a1k một cách tuỳ ý.
Ta đưa vào ký hiệu:
1
ik
ik
k
av
a
= hoặc
( )
( )
( )
1
k
k i
i k
av
a
= với , 1i k n= →
90
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
v v v
v v v
V
v v v
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Lần lượt thay các ω1, ω2,...., ωn vào phương trình (5), 
ta xác định được ma trận:
Mỗi vectơ cột của ma trận V:
[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... TT k k kk k k nk nv v v v v v v⎡ ⎤= = ⎣ ⎦
Cho ta biết một dạng dao động riêng của hệ dao động. 
Ma trận V được gọi là ma trận dạng riêng (Modalmatrix)
91
™ Xét trường hợp hệ hai bậc tự do. Khi đó PTVP dao động
tự do không cản có dạng:
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
0
0
m m q c c q
m m q c c q
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
&&
&&
Phương trình đặc trưng:
2 2
11 11 12 12
2 2
21 21 22 22
0
c m c m
c m c m
ω ω
ω ω
− − =− −
(6)
(7)
92
Khai triển định thức cấp hai (7) ta có:
2 2
11 11 22 22
2 2
12 12 21 21
( )( )
( )( ) 0
c m c m
c m c m
ω ω
ω ω
− − −
− − − =
Đưa vào ký hiệu : ( ) ( )2 1/
i i
iv a a= Thì ta có:
2 2
11 11 12 12( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m iω ω− + − = =
2 2
21 21 22 22( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m iω ω− + − = =
Hoặc
Ta được:
1 2
1 1
V
v v
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
93
b. Tính chất trực giao của các
vectơ riêng
Xét phương trình dao động tự do không cản của hệ n bậc
tự do:
0M q C q+ =&&
Nếu các ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C là
các ma trận thực, đối xứng thì các vectơ riêng vk tương
ứng với các tần số riêng ωk sẽ trực giao với ma trận khối
lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có:
0;Tj iv M v = 0;Tj iv C v = i jkh i ω ω≠
94
c. Các toạ độ chính
Mục đích: Sử dụng toạ độ chính để thu được phương trình
dao động của hệ có dạng đơn giản hơn.
Phương trình vi phân dao động của hệ n bậc tự do có dạng:
0M q C q+ =&&
Đây là hệ n phương trình vi phân cấp 2 mà các toạ độ suy
rộng có liên kết với nhau (các phương trình hoàn toàn không
độc lập với nhau).
Để được một hệ dao động đơn giản hơn, người ta thường
thay toạ độ suy rộng q bằng toạ độ suy rộng p, chẳng hạn
sao cho hệ phương trình vi phân chuyển động đối với toạ độ
mới p sẽ gồm n phương trình vi phân độc lập nhau hoàn
toàn. Trường hợp này, p được gọi là toạ độ chính của cơ hệ.
(1)
95
Thực hiện phép đổi biến:
q V p= (2)
Thế (2) vào (1) ta có: 
0M V p C V p+ =&&
Nhân cả hai vế của phương trình trên với VT ta được: 
0T TV M V p V C V p+ =&& (3)
96
Do tính chất trực giao, nên:
1
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 0
T
n
V M V
μ
μ
μ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 0
T
n
V C V
γ
γ
γ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Do vậy phương trình (3) có dạng:
0 ; 1i i i ip p i nμ γ+ = = →&& (4)
Trong đó:
; ; 1T Ti i i i i iv M v v C v i nμ γ= = = →
Nếu đặt: 2 i
i
i
γω μ=
Thì các phương trình (4) đưa về dạng:
2 0; 1i i ip p i nω+ = = →&& (5)
97
Ví dụ 1: Cho cơ hệ như hình vẽ, biết m1= m2=m; c1= c2= c3= c
m1 m2
c1 c2 c3
q1 q2
1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động.
2. Tìm tần số dao động riêng và ma trận dạng riêng V.
3. Tìm quy luật chuyển động của cơ hệ.
98
Ví dụ 1: Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l, khối lượng
mỗi vật điểm là m. Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ
số cứng là c, ở vị trí cách trục quay một đoạn là d. Độ dài của lò xo
ở trạng thái không biến dạng bằng khoảng giữa hai trục con lắc. Bỏ
qua khối lượng của thanh, lò xo và bỏ qua lực cản. 
a. Xác định các toạ độ chính của hệ. 
b. Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu: 
1 0 2
1 2
(0) , (0) 0
(0) 0, (0) 0
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= =
= =& & 
l
d φ2φ1
99
Ví dụ 2: Mô hình dao động ngang của toà nhà 3 tầng. Xem rằng
khối lượng của các tầng bằng nhau m1 = m2 = m3 = m = 262,69.103 
kg. Độ cứng uốn của các bức tường ở các tầng là c1 = 3c, c2 = 2c, 
c3 = c = 88,56.106N/m. Xác định các tần số riêng và các dạng dao 
động riêng của cơ hệ. 
x1
x2
x3
C1/2 C1/2
C2/2
C3/2 C3/2
C2/2
100
d. Các toạ độ chuẩn
Như đã biết, bằng phép thế q = V p ( V là ma trận dạng
riêng, p là vectơ các toạ độ chính) ta có thể đưa phương 
trình vi phân dao động :
0M q C q+ =&&
về dạng vế tách rời nhau:
0 ; 1i i i ip p i nμ γ+ = = →&&
Trong đó:
;T Ti i i i i iv M v v C vμ γ= =
101
Do các phần tử của vectơ vi của ma trận V được xác
định sai khác nhau một hằng số nhân, cho nên ta có
thể chọn các vectơ vi một cách thích hợp sao cho:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 1
TV MV E
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ma trận dạng riêng được chọn như vậy được gọi là ma 
trận dạng riêng chuẩn. Ta ký hiệu ma trận dạng riêng
chuẩn bằng Vn. Ta có:
2
1
2
2
2
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ...
T
n n
n
V C V Dω
ω
ω
ω
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T
n nV M V E=
102
Bằng phép thế q = Vn p ta có thể đưa phương trình dao
động ban đầu về:
0E p D pω+ =&&
Các toạ độ chính p = [p1, p2,......, pn]T trong phép thế: 
q = Vn p được gọi là các toạ độ chuẩn.
Toạ độ chuẩn là các toạ độ chính đặc biệt.
Nếu ta biết được ma trận dạng riêng:
T
1 2 n[v , v , . . . . . , v ]V =
Thì ma trận dạng riêng chuẩn được xác định bởi:
T
1 2 n
1 2
1 1 1[ v , v , . . . . . , v ]n
n
V α α α=
Trong đó:
T
i i i iv M vα μ= ± = ±
103
§3. Dao động tự do có cản
a. Phương pháp trực tiếp
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
104
a. Phương pháp trực tiếp
Phương trình vi phân dao động tự do có lực cản tỷ lệ với
vận tốc của hệ n bậc tự do có dạng:
0M q Bq Cq+ + =&& & (1)
Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng:
ˆ( ) tq t q eλ=
qˆ Là vectơ hằng.
(2)
105
Thế biểu thức (2) vào (1), rồi đơn giản ta được:( )2 ˆ 0M B C qλ λ+ + = (3)
Để cho các phần tử của vectơ qˆ không đồng thời triệt tiêu thì:
( )2( ) det 0P M B Cλ λ λ= + + = (4)
Phương trình (4) được gọi là phương trình đặc trưng.
Khi M là ma trận chính qui: ( )det 0M = , thì P(λ) là đa thức
bậc 2n của λ.
Giải phương trình (4) ta được 2n nghiệm thực hoặc phức
liên hợp.
106
™ Ta xét trường hợp, phương trình đặc trưng (4) có
nghiệm dạng:
, , 1k k k k n k ki i k nλ δ ω λ δ ω+= − + = − − = →
Thì trường hợp này được gọi là trường hợp cản yếu.
Ta đặt:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,k k k k n k kq u i v q u i v+= + = −
Nghiệm tương ứng với cặp trị riêng λk và λk+n có dạng:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) k k nt tk k k k k k kq t C e u i v D e u i vλ λ += + + −
Với ,k kC D là các hằng số phức. 
(5)
107
Nếu ta đưa vào các hằng số tích phân mới:( ),k k k k k kC C D D i C D= + = −
Thì biểu thức (5) có dạng:
[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )sinktk k k k k k k k k k kq t e C u D v cos t D u C v tδ ω ω−= + + −
Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:
1
( ) ( )
n
k
k
q t q t
=
= ∑
Chú ý: ˆ ˆ,k ku v nói chung không tỷ lệ với nhau nên các
toạ độ của véctơ qk có pha khác nhau.
108
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
Trong một vài bài toán kỹ thuật, ma trận B có thể biểu
diễn dưới dạng:
B M Cα δ= +
Trong đó α và δ là các hằng số. Ma trận B có dạng (1) 
được gọi là ma trận cản Rayleigh.
Biểu thức (1) có khi được viết dưới dạng:
(1)
B M Cβα ω ω= +
Trong đó ω là một tần số qui chiếu tuỳ ý được đưa vào
để α và β là các đại lượng không thứ nguyên.
109
Bằng phép biến đổi q = V p, với V là ma trận dạng riêng, 
ta đưa phương trình (1) về dạng:
0; 1i i i i i ip p p i nμ β γ+ + = = →&& & (2)
Trong đó:
; ;T T Ti i i i i i i i iv Mv v Bv v Cvμ β γ= = =
Nghiệm của phương trình (2) đã được khảo sát trong
chương 2
110
§4. Dao động cưỡng bức
a. Phương pháp giải trực tiếp
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
111
a. Phương pháp giải trực tiếp
™ Dao động cưỡng bức không cản chịu
kích động điều hoà.
™ Dao động cưỡng bức có cản chịu kích
động tuần hoàn.
112
Dao động cưỡng bức không cản
chịu kích động điều hoà
Dao động tuyến tính cưỡng bức không cản của hệ n bậc
tự do chịu kích động điều hoà có dạng:
ˆ sinM q Cq f t+ = Ω&& (1)
Ở chế độ chuyển động bình ổn, ta tìm nghiệm của 
phương trình (1) dưới dạng:
( ) sinq t u t= Ω (2)
113
Thế (2) vào (1) ta có:
( )2 ˆ ˆ( )M C u f u H f−Ω + = ⇒ = Ω (3)
Trong đó:
( ) 12( )H M C −Ω = −Ω +
và được gọi là ma trận truyền.
114
có được bằng cách thay vào cột thứ k của Δ.
Ta thấy khi
Giải hệ phương trình (3), ta được:
( )( )
( )
k
ku
Δ ΩΩ = Δ Ω (4)
Trong đó:
2( ) det( )M CΔ Ω = −Ω + (5)
( )kΔ Ω fˆ
( ) 0Δ Ω = , 1j j nωΩ = = →
115
Các trường hợp có thể xảy ra:
™ Trường hợp 1: ( ) 0, ( ) 0kΔ Ω = Δ Ω ≠
Khi đó tần số lực kích động Ω trùng với một trong các tần
số dao động riêng. Biên độ dao động tăng lên vô cùng. 
Trường hợp này được gọi là trường hợp cộng hưởng.
116
™ Trường hợp 2: ( ) 0, jωΔ Ω = Ω=
Trường hợp này mặc dù tần số lực kích động trùng với
tần số riêng, nhưng biên độ dao động vẫn bị giới nội. 
Trường hợp này được gọi là trường hợp giả cộng hưởng.
( )( ) 0 , lim
( )j
k
k k ωΩ→
Δ ΩΔ Ω = ∀ < ∞Δ Ω
117
™ Trường hợp 3: ( ) 0, ( ) 0kΔ Ω ≠ Δ Ω =
Trong trường hợp này uk = 0. Dao động ứng với toạ độ
thứ k bị dập tắt.
với k xác định.
118
Dao động cưỡng bức có cản chịu
kích động tuần hoàn
Dao động cưỡng bức có cản nhớt của hệ tuyến tính n
bậc tự do có dạng:
( )M q B q C q f t+ + =&& & (1)
Giả sử f(t) tuần hoàn theo thời gian và có thể khai triển
thành chuỗi Fourier một cách gần đúng:
( )
1
( ) cos sin
m
o k k
k
f t a a k t b k t
=
= + Ω + Ω∑ (2)
119
Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tìm nghiệm.
Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình:
o o o oM q Bq Cq a+ + =&& &
dưới dạng: o oq v=
từ hai phương trình trên ta suy ra: o oCv a= (3)
120
Sau đó ta tìm nghiệm của phương trình:
cos sink k k k kM q Bq C q a k t b k t+ + = Ω + Ω&& & (4)
Nghiệm của phương trình (4) được tìm dưới dạng:
sin cosk k kq u k t v k t= Ω + Ω
Từ nghiệm trên ta có:
( )
( )2 2
sin
sin cos
k k k
k k k
q k u cosk t v k t
q k u k t v k t
= Ω Ω − Ω
=− Ω Ω + Ω
&
&&
121
Thế các biểu thức tìm được vào phương trình (4), rồi so 
sánh hệ số, ta nhận được hệ phương trình đại số tuyến
tính để xác định các vectơ uk và vk:
2 2
2 2
k k
k k
u aC k M k B
v bk B C k M
⎡ ⎤− Ω − Ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω − Ω ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(5)
Khi định thức của ma trận hệ số của hệ phương trình
trên khác không, thì các vectơ uk và vk được xác định
duy nhất. 
Như thế nghiệm của phương trình dao động cương bức
(1) là:
( )
1
( ) sin
m
o k k
k
q t v u k t v cosk t
=
= + Ω + Ω∑ (6)
122
b. Phương pháp ma trận dạng riêng
Dao động cưỡng bức không cản.
Dao động cưỡng bức có cản.
123
Dao động cưỡng bức không cản
Phương pháp ma trận dạng riêng (Modalmatrix) được áp
dụng rất thuận tiện đối với hệ không cản:
( )M q Cq f t+ =&& (1)
Trong đó M và C là các ma trận thực, đối xứng.
Áp dụng phép biến đổi toạ độ:
q V p= (2)
với V là ma trận dạng riêng, p là vectơ các toạ độ chính.
124
Thay (2) vào (1) ta có:
( )M V p CV p f t+ =&&
Suy ra:
( )T T TV M V p V C V p V f t+ =&& (3)
Các ma trận TV M V và TV C V có dạng đường chéo
Nếu đưa vào ký hiệu: ( ) , 1Ti ih v f t i n= = →
Thì phương trình (3) có thể viết dưới dạng:
1i i ip p h i nμ γ+ = = →&& (4)
125
Nghiệm của mỗi phương trình (4) ứng với điều kiện
đầu:
0 0(0) ; (0)i i i ip p p p= =& &
có dạng:
0
0
0
( ) sin
1 ( ) sin ( )
i
i i i i
i
t
i i
i i
pp t p cos t t
h t d
ω ωω
τ ω τ τμ ω
= + +
+ −∫
&
(5)
Với:
2 i
i
i
γω μ=
126
Đối với trường hợp kích động điều hoà
ˆ( ) sini if t f t= Ω
Thì: 
1
ˆ ˆ( ) sin sin
n
i ki k i
k
h t v f t h t
=
⎛ ⎞= Ω = Ω⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Phương trình dao động trong trường hợp này:
ˆ sin 1i i i i ip p h t i nμ γ+ = Ω = →&& (6)
127
Nghiệm của các phương trình (6) trong giai đoạn bình
ổn là:
2
2
ˆ
( ) s in
(1 )
i
i
i
i
hp t t
γ ω
= ΩΩ−
Trở lại toạ độ qk:
2
1 1
2
ˆ
( ) sin
(1 )
n n
ki i
k ki i
i i
i
i
v hq t v p t
γ ω
= =
= = ΩΩ−
∑ ∑
Ta thấy khi Ω bằng tần số riêng ωi thì xảy ra hiện tượng
cộng hưởng.
128
Trong kỹ thuật ta hay gặp trường hợp:
( )M q B q C q f t+ + =&& & (1)
Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ là:
B M Cα δ= +
Bằng các phép biến đổi tương tự như trên ta đưa (1) về
dạng:
( ) 1i i i i i i ip p p h t i nμ β γ+ + = = →&& & (2)
Phương trình này đã được nghiên cứu kỹ trong các phần
trên.
Dao động cưỡng bức có cản
129