Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 8: Dạng toàn phương

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính 
Chương 8: Dạng Toàn Phương
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2010)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của
dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
Định nghĩa
Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực : nf R R 
1 2( , ,..., ) :
T n
nx x x x R ( )
Tf x x A X  
Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2
Ví dụ. Cho
1
2
x
x
x
2 3
3 4
A
Tx Ax   11 2
2
2 3
3 4
x
x x
x
2 2
1 1 2 22 6 4 x x x x
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng
1 2 3( ) ( , , )f x f x x x 
2 2 2
1 2 3x x x 1 2 1 3 2 32 2 2A B C Dx x Ex x Fx x 
Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng
A D E
M D B F
E F C
Khi đó f(x) có thể viết lại 1 2 3( ) ( , , )f x f x x x 
1
1 2 3 2
3
( , , )
A D E x
x x x D B F x
E F C x
Tx M x  
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 2 3
2 2 1
3 1 4
A
Giải
Ví dụ.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 2 4 4 6 2 f x x x x x x x x x x
Viết ma trận của dạng toàn phương.
1
3
2
3
:
x
x x R
x
  
1
1 2 3 2
3
3 2 3
( ) 2 2 1
3 1 4
T
x
f x x Ax x x x x
x
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho dạng toàn phương với( ) , Tf x x Ax 1 2 3( , , )
Tx x x x 
Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận
trực giao P và ma trận chéo D: TA PDP 
Khi đó: ( ) T Tf x x PDP x ( ) ( )T T TP x D P x 
Đặt Ty P x x Py 
Ta có ( ) Tf y y Dy 
1 1
1 2 3 2 2
3 3
0 0
( ) ( , , ) 0 0
0 0
y
f y y y y y
y



2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( , , )f y f y y y y y y   
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Dạng toàn phương được gọi là dạng chính( ) Tf y y Dy 
( ) Tf x x Ax tắc của dạng toàn phương
Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình
phương.
Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương trong
cơ sở chính tắc.
( ) Tf x x Ax 
Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương
trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.
( ) Tf x x Ax 
Khi làm việc với dạng toàn phương ta có thể làm việc với ma
trận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D
có cấu trúc đơn giản hơn.
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng
toàn phương về dạng chính tắc.
dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao
Dạng toàn phương luôn luôn có thể đưa về( ) Tf x x Ax 
( ) Tf y y Dy 
ma trận A của dạng toàn phương.
Còn có nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về chính tắc
khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi
sơ cấp)
Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn còn
làm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc)
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D
Bước 3. Kết luận
Với D là ma trận của dạng toàn phương ban đầu trong cơ sở
trực chuẩn từ các cột của ma trận trực giao P.
Dạng chính tắc cần tìm là: ( ) Tf y y Dy 
Phép biến đổi cần tìm: x = Py
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 6 3 4 8 4 f x x x x x x x x x x x x
Ví dụ
1. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng:
3 2 4
2 6 2
4 2 3
A
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)
1 1
2 18
4
0
18
1 1
2 18
2
3
1/ 3
2
3
P
2
0 0
0 0
7
7
0 0
D
3. Dạng chính tắc cần tìm là:
2 2 2
1 2 3 1 2 3( , , ) 27 7f y y y y y y 
Phép biến đổi cần tìm: x Py 
1 1
2 2
3 3
x y
x P y
x y
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến
đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạng
chính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn.
Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến
nếu ma trận P là ma trận không suy biến.
Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến
đổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận.
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương.
Bước 1. Chọn một thừa số khác không của hệ số
2
kx
Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa ,
nhóm còn lại không chứa số hạng này.
kx
Ta có một tổng bình phương và một dạng toàn phương không
chứa hệ số .kx
Bước 3. Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng toàn phương không
chứa hệ số .kx
Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số
2
kx
đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số i jx x
( , ) : ;k kk i j y x ;i i j j i jx y y x y y Đổi biến:
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 6 3 4 8 4 f x x x x x x x x x x x x
Ví dụ
1. Chọn thừa số 213x
Lập thành hai nhóm:
2 2
2
2
1 1 2 1 31 3 3 2 32 3 4 8 6( , , ) ( ) ( )3 4 xx x x x xf x x x xx x
Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm 1.
2 2
21 2 3
2
1 1 2 1 33 2 3
4 8
( , , ) ( ) (6 )
3
3
3
43 x x x x x xx x xx x xf
2 2
2
2 2 2
1 2 3 2 3 2 23 3 3
2 4 16 4 16
3( )
3 3 3 3
(6 3 4 )
3
 x x x x x xx x x xxf
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
2
1 2 3 32
2 2
23
14 28 7
( )
3
2 4
3( )
3 3 3 3
 f x xx x xx x
Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương: 2 22 2 3 3
14 28 7
3 3 3
 x x x x
Chọn thừa số 22
14
3
x
Lập 2 nhóm:
2
2 2 3
2
3
14 28
3
7
33
x xx x
Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm đầu.
 2 2 232 3 3
14 14 7
3 3 3
 x xx x
 32 2 3 22
14
2
3
7
3
 x x xx
 22
2
33
14
3
7x x x 
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
 22
2
2 31 3
2
3
2 4
3( )
14
33
7
3
 x x xx xxf
Đặt:
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2 4
3 3
 (*)
y x x x
y x x
y x
Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 2
2
3
22
1
14
3
73 yf yy
là phép biến đổi cần tìm.(* )
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.
1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4 f x x x x x x x x x
Ví dụ
1. Trong dạng toàn phương không có hệ số chứa
2
kx
Chọn một hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2
1 1 2
2 1 2
3 3
x y y
x y y
x y
Đổi biến:
2 2
1 2 1 2 3 1 2 34 4 4( ) 4( ) f y y y y y y y y
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2
1 1 3 24 8 4 f y y y y
2
1 1 3
2
24( ) 48 y y yyf
2
1 1 3
2
24( ) 42 y y yyf
2
1
2
23 3
2 444( ) yf y yy
1 1 3
2 2
3 3
z y y
z y
z y
Đổi biến:
Dạng chính tắc cần tìm là: 1 2 3
2
2 31
22( , , ) 4 4 4 z zf z zz z
1 1 2 3
2 1 2 3
3 3
x z z z
x z z z
x z
Phép biến đổi cần tìm:
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là:
Định nghĩa
1. xác định dương, nếu ( 0) : ( ) 0x f x 
2. xác định âm, nếu ( 0) : ( ) 0x f x 
3. nửa xác định dương, nếu
 ( ) : ( ) 0x f x 1 1( ) : ( ) 0x f x và
4. nửa xác định âm, nếu
 ( ) : ( ) 0x f x 1 1( ) : ( ) 0x f x và
5. không xác định dấu, nếu & 1 2 1 1( , ) : ( ) 0 ( ) 0x x f x f x 
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
1. Nếu , thì dạng toàn phương xđ dương.( 1,.., ) : 0kk n  
2 2 2
1 1 2 2( ) ... n nf y y y y   
2. Nếu , thì dạng toàn phương xđ âm.( 1,..., ) : 0kk n  
3. Nếu và , thì nửa xđ dương.( 1,..., ) : 0kk n  0k 
4. Nếu và , thì nửa xđ âm.( 1,..., ) : 0kk n  0k 
5. Nếu , thì dạng toàn phương không xác định dấu1 20; 0  
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
2 2 2
1 1 2 2( ) ... n nf y y y y   
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính.
Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính.
Luật quán tính
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn
phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách
đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau.
Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm
và số lượng các hệ số dương là không thay đổi.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a



    

7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ma trận thực A vuông cấp n.
Định nghĩa
Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đường chéo chính
được gọi là định thức con chính cấp 1, 2,, n.
1 2 3  n 
7.6 Dạng Toàn phương 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx.
Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)
1. xác định dương khi và chỉ khi ( 1, ) : 0ii n 
 
( )f x
2. xác định âm khi và chỉ khi ( 1, ) : ( 1) 0i ii n 
 
( )f x
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương sau đây xác định
dương.
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 2 8 4 f x x x x x mx x x x x x x
Ví dụ
Ma trận của dạng toàn phương là:
1 1 4
1 4 2
4 2
A
m
Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi các định thức
con chính đều dương.
1 11 1 0a 
2
1 1
3 0
1 4
3
1 1 4
1 4 2 0
4 2 m
 28m 
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 4 6 2 f x x x x x mx x x x x x x
Ví dụ
Đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
Dạng toàn phương không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhất
một hệ số âm và một hệ số dương
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3( 4 6 ) (5 2 )f x x x x x x mx x x 
2 2 2
1 2 3 2 2 3 3( 2 3 ) 14 ( 9)f x x x x x x m x 
2 2 2
1 2 3 2 3 3( 2 3 ) ( 7 ) ( 58)f x x x x x m x 
58m 
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đường cong có phương trình
2 23 2 3 4 2 2 0 x xy y x
Ví dụ
Nhận dạng và vẽ đường cong này.
y
x
o
Xét dạng toàn phương 2 2( , ) 3 2 3 f x y x xy y
Vẽ đường cong trong hệ trục 0xy là
làm việc với cơ sở chính tắc của R2.
Đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy.
Nếu đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì
ta chỉ có thể nhận dạng được đường cong này, còn khó vẽ hình được
vì lúc đó ta sẽ làm việc với cơ sở (thường là) không trực chuẩn.
Có nghĩa là vẽ hình trong hệ trục tọa độ không vuông góc!
7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Vì vậy ta cần phép biến đổi trực giao để có cơ sở trực chuẩn:
3 1
1 3
A
Phép biến đổi:
2 6 8 0  Phương trình đặc trưng:
1 22; 4  
Cơ sở trực chuẩn của các không gian con riêng:
1 x1
1/ 2
2:
1/ 2

2 x1
1/ 2
4:
1/ 2

x u
P
y v
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
u
v
hay
2 2
u v
x 
2 2
u v
y 
v7.6 Dạng Toàn phương 
------------------------------------------------------------------------------------------------
Đường cong đã cho có phương trình trong hệ trục tọa độ 0uv là:
2 23 2 3 4 2 2 0 x xy y x
2 22 4 4 2 2 0
2 2
u v
u v
2 22 4 4( ) 2 0u u v v 2 2
1
2( 1) 4( ) 5
2
u v 
y
xo
M 
N 
u
1 1
,
2 2
M
1 1
,
2 2
N
Nội dung ôn tập
------------------------------------------------------------------------------------------------
I) Số phức: Dạng đại số; dạng lượng giác; nâng lên lũy thừa;
khai căn số phức; giải phương trình trong C.
II) Ma trận: 1) Các phép toán: bằng nhau, cộng, trừ, nhân,
biến đổi sơ cấp; nâng lên lũy thừa.
2) Tìm hạng của ma trận; 3) Tìm ma trận nghịch đảo.
III) Định thức: 1) Cách tính định thức cấp 4,5 (dùng BĐSC)
2) Tính định thức cấp n bằng đệ qui; 3) Khai triển Laplace.
IV) Hệ phương trình: Cách giải hệ phương trình AX = b.
2) Tìm tổng, giao của hai không gian con, tổng trực tiếp.
V) Không gian véctơ: 1) Tìm cơ sở chiều của không gian con
3) Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất
Nội dung ôn tập
------------------------------------------------------------------------------------------------
VI) Ánh xạ tuyến tính.Cho ánh xạ tuyến tính W:f V 
Có 3 cách cho: 1) biết f(x)
2) biết ảnh của cơ sở (tập sinh) của V.
3) biết ma trận của f trong cặp cơ sở E, F.
Trong khi ôn tập chúng ta phải biết cách làm các câu hỏi sau:
1) Tìm ảnh của một phần tử cho trước 0( ).f v
2) Tìm ( ).f x
3) Tìm cơ sở và chiều của nhân của ánh xạ tuyến tính.ker f
4) Tìm cơ sở và chiều của ảnh của ánh xạ tuyến tính.Im f
5) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở cho trước.
6) Giả sử V = W. Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
7) Giả sử V = W. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính (nếu được).
Nội dung ôn tập
------------------------------------------------------------------------------------------------
VII) Dạng toàn phương:
1) Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai cách:
a) Biến đổi trực giao; b) Biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp)
2) Phân loại dạng toàn phương: có 5 loại. Cách phân loại: đưa về
dạng chính tắc hoặc dùng tiêu chuẩn Sylvester.
3) Sử dụng vẽ đường cong bậc hai, mặt cong bậc hai.
Chú ý: Trên đây là những phần chính. Ngoài ra các em phải biết
cách giải một số bài toán dạng khác.
Nói chung 8 phần trên là toàn bộ các kiến thức yêu cầu trong
môn học toán 2 này. Tuy nhiên để được điểm tối đa các em phải
biết cách giải thêm một số dạng bài tập khác.
Đề mẫu cuối kỳ
------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1. Tính , biết10 z
1
1 3
i
z
i
Câu 2. Tính A2008, biết
4 2
1 3
A
Câu 3. Trong không gian R3 cho hai không gian con
Tìm cơ sở và chiều của
 1 2 3 1 2 3{ ( , , ) | 2 - 0 } ;F x x x x x x 
( )F G 
(1,1,1);(1,0,1)G 
Hình thức thi: tự luận, đề thi gồm 8 câu, tgian thi: 90 phút.
Câu 4. Trong không gian , với tích vô hướng[x]2P
1
0
( , ) ( ) ( )p q p x q x dx cho khgian con { }( ) | (1) 0F p x p 
Tìm cơ sở và chiều của F 
Câu 5. Cho ánh xạ tuyến tính , biết
Với giá trị nào của m thì véctơ là VTR của f.
(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (3,0,5); (1,1,0) (40,41, 2)f f f 
3 3:f R R 
( 2,1, )x m 
Câu 6. Cho ánh xạ tuyến tính [x] [x]2 2:f P P 
biết
Tìm trị riêng và cơ sở của các không gian con riêng.
 '2( ) [ ] : ( ( )) ( ).p x P x f p x p x 
Câu 7. Tìm ma trận vuông B cấp 2, sao cho 3
34 14
105 43
B
Câu 8. Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đường cong có phương
2 25 8 5 4 2 6 2 2 0.x xy y x y 
Nhận dạng và vẽ đường cong này.
trình
Đáp án
------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1. 10
7 7
- 2 - 22 12 12cos sin ; 0,...,9.
2 10 10k
k k
z i k
Câu 2.
2008
2008
2008
1 1 2 0 2/ 3 1/ 3
1 2 1/ 3 1/ 30 5
A
Câu 3. Cơ sở: {(1,0,-1); (0,1,0)}; chiều: 2
Câu 4. Cơ sở:{p(x) = 10x2 - 8x + 1}; chiều: 1
Câu 5. m = 0. HD. suy ra hệ pt.( 2,1,0) ( 2,1,0)f  
Câu 6. TR: . Cơ sở của1 2 3 0   1 :E { }( ) 1p x 
Đáp án
------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 7. Đặt
34 14
105 43
A
Chéo hóa A ta được:
114 1 0 3/ 7 1/ 7
35 3 0 35/ 7 1 78 4/
A
114 1 0 3/ 7 1/ 7
35 3 0 35/ 7 1 72 4/
B
Khi đó ma trận B cần tìm là:
Câu 8. Giải tương tự ví dụ vẽ đường cong trong bài giảng!