Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính 
Chương 6: Ánh xạ tuyến tính
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa và ví dụ.
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Định nghĩa ánh xạ
:f X Y , ! : ( )x X y Y y f x  
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x 
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu , : ( )y Y x X y f x  
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh
của mọi phần tử thuộc X.
Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ,
bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,
Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ.
I. Định nghĩa và ví dụ
------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.
2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f v   
Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W: Wf V 
là một ánh xạ thỏa
1. 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) v v V f v v f v f v 
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng tỏ ánh xạ cho bởi23: RRf 
21 2 1 3 1 33( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )xx x x x x x xxf x 
Ví dụ
là ánh xạ tuyến tính.
1 2 3 1 2 3 3( , , ); ( , , )x x x x y y y y R 
1 1 2 3 32( ) ( , , )x yx y xf x y yf 
3 3 31 1 1 32 21 3 2( ) ( ,3 )2 22 x y xx y x yx yx yf y 
1 13 312 1 3233 3( ) ( ,2 2)2 2( , )x x y yf x y x yy yx x 
( ) ( ) ( )f x y f x f y 
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến
tính.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho là ánh xạ tuyến tính.WVf :
Cho E ={e1, e2, , en} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e1), f(e2), , f(en).
1 1 2 2 n nx V x x e x e x e 
1 1 2 2( ) ( )n nf x f x e x e x e 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x e f x e f x e 
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n nf x x f e x f e x f e 
Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được
ảnh của một tập sinh của V.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2:f R R 
(1,1,1) (1,2),f (1,1,0) (2, 1),f (1,0,1) ( 1,1);f 
1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x)
1. Giả sử (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)   
3
1
5
  
 
 
2, 3, 2   
(3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1))f f   
(3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)f f f f   
(3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1)f ( 3,10) 
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2:f R R 
(1,1,1) (1,2),f (1,1,0) (2, 1),f (1,0,1) ( 1,1);f 
1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x)
2. Giả sử 1 2 3( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)x x x x   
1
2
3
x
x
x
  
 
 
1 3
1 2 3
1 2
x x
x x x
x x


1 2 3( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)f x f x x x f f f   
1 3 1 2 3 1 2( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1)f x x x x x x x x 
2 3 1 2 3( ) (2 , 2 3 )f x x x x x x 
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn
nếu biết được ảnh của một cơ sở của
R3. Chọn cơ sở chính tắc
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz
quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
hướng dương của trục 0z. Tìm f(x).
Đây là ánh xạ 3 3:f R R 
o
y
z
x
(0,0,1) (0,0,1)f 
3 1
(1,0,0) ( , ,0)
2 2
f 
1 3
(0,1,0) ( , ,0)
2 2
f
1 2 1 2 3
3 1 1 3
( ) ( , , )
2 2 2 2
f x x x x x x 
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một
cơ sở của R3.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian
0xyz qua mặt phẳng . Tìm f(x).
Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ 3 3:f R R 
(2, 1,3) ( 2,1, 3)f 
(1,2,0) (1,2,0)f (0,3,1) (0,3,1)f 
( )f x 
2 3 0x y z 
Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã
cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặt
phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
Ví dụ
1. ),32(),(;: 1212122 xxxxxfRRf 
2. )0,2(),(;: 212122 xxxxfRRf 
3. )1,2(),(;: 1212122 xxxxxfRRf
4. ),1(),(;: 212122 xxxxfRRf 
5. ),(),(;:
2
1212122 xxxxxfRRf 
6 ),(),(;: 122122 xxxxfRRf 
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính
WVf :
 0)(| xfVxKerf
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x
của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.
V W
0Kerf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y
của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).
Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính
 )(:|Im xfyVxWyf  
Cho ánh xạ tuyến tính. WVf :
x V 
V W
Imf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính WVf :
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V.
2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)
Chứng minh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)Chứng minh.
Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân 1 2, ,...,{ }mE e e e 
Bổ sung vào E để được cơ sở của V: 1 1 1,..., , ,..., }{ m nE e e v v 
Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là: 2 1( ),..., ( ){ }nE f v f v 
Im : ( )y f x V y f x  
1 1 1 1( ... ... )m m n ny f e e v v   
1 1 1 1( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m n ny f e f e f v f v   
1 1( ) ... ( ).n ny f v f v  Vậy E2 là tập sinh của Imf.
1) E2 là tập sinh:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính.
1 1( ... ) 0n nf v v 1 1 ... .ern nv v K f 
1 1 1 1... ...n n m mv v e e   
1 1 1 1... ... 0n n m mv v e e   
Vì E1 độc lập tt nên 1 2 ... 0m 
Suy ra E2 độc lập tuyến tính.
1 1( ) ... ( ) 0n nf v f v Giả sử
Vậy E2 là cơ sở của Imf.
dim(Imf ) = n. Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V).
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mệnh đề
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra
bởi ảnh của một tập sinh của V.
Chứng minh.
1 2, ,...,{ }nE e e e Giả sử tập sinh của V là
Imy f : ( )x V y f x  Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
1 1 2 2( ... )n ny f x e x e x e Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny x f e x f e x f e 
1 2( ), ( ),..., ( ){ }nF f e f e f e sinh ra y.
1 2Im ( ), ( ),..., ( )nf f e f e f e 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.
1. Chọn một cơ sở của V là 1 2, ,...,{ }nE e e e 
3. 1 2Im ( ), ( ),..., ( )nf f e f e f e 
Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.
2. Tìm 1 2( ), ( ),..., ( )nf e f e f e
b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc
tìm ảnh của cơ sở đó nhanh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
 
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
1 2 3( , , ) Kerx x x x f ( ) 0f x 
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0)x x x x x x x x x 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
3 5 0
x x x
x x x
x x x
1 2 32 ; ;x x x 
(2 , , )x 
(2, 1,1)x 
Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf
dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
 
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở chính tắc của R3 là (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1){ }E 
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.
Im (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)f f f f 
Im (1,2,3), (1,3,5),( 1, 1, 1)f 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
dim(Im ) 2f Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
Cách 1(thường sử dụng).
(1,1,1) (1,2,1);f (1,1,2) (2,1, 1);f (1,2,1) (5,4, 1);f 
1 2 3 3( , , )x x x x R 
1 2 3( , , ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)x x x x   
1
2
3
2
2
x
x
x
  
  
  
1 2 3
3 1
2 1
3x x x
x x
x x


1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 4 4 , 2 ,5 2 2 )f x x x x x x x x x x 
er1 2 3( , , )x x x x K f ( ) 0f x Hệ thuần nhất
(2 , ,4 )x (2,1,4)x 
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1){ }E Cách 2. Chọn cơ sở
Kerx f ( ) 0f x 
Giả sử tọa độ của x trong E là
1
2
3
[ ]E
x
x x
x
1 2 3(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)x x x x 
1 2 3( ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)f x x f x f x f 
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 2 5 ,2 4 , ) f x x x x x x x x x x
Hệ thuần nhất, giải ra có( ) 0f x 1 2 3, 2 ,x x x 
2[ ]
Ex
(1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)x 
( 2 , , 4 ) (2,1,4)x 
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
(1,1,1) (1,2,1);f (1,1,2) (2,1, 1);f (1,2,1) (5,4, 1);f 
Chọn cơ sở của R3 là (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1){ }E 
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.
Im (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1)f f f f 
Im (1,2,1),(2,1, 1),(5,4, 1)f 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
dim(Im ) 2f Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}
Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trước rồi
tìm nhân và ảnh.
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz
quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
hướng dương của trục 0z.
Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh.
o
y
z
x
Ta giải bằng cách lập luận đơn giản sau:
Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 có
ảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ
0, dim(Kerf) = 0, không có cơ sở.
dim(kerf) + dim(Imf) = dim (R3). Suy ra dim(Imf) = 3
Vậy Imf = R3.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm một ánh xạ tuyến tính , biết4 3:f R R 
1 2Im (1,1,1), (1,2,1)f f f 
1 2er (1,1,1,0), (2,1,0,1)K f e e 
1(1,1,1,0)e 
2 (2,1,0,1)e 
3(0,0,1,1)e 
4 (0,0,0,1)e 
(0,0,0) 
1(1,1,1)f 
2(1,2,1)f 
1 2( ) ( ) 0f e f e 3 4( ) (1,1,1), ( ) (1,2,1)f e f e 
( )f x Chú ý: lời giải không duy nhất!
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ trong 
cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F .
( )jf e
E = {e1, e2, , en} là một cơ sở của V.
F = {f1, f2, , fm} là một cơ sở của W.
, 1 2[ ( )] [ ( )] [ ( )]E F F F n FA f e f e f e

Cho ánh xạ tuyến tính WVf :
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ cho bởi23: RRf 
1 2 3 1 2 3 1 3( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 ) x x x x f x x x x x x
Ví dụ
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
Vậy ma trận cần tìm là
{ } ; { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (1,1),(1,2)E F 
(1,1,1) (0,3)f [ ](1,
3
1,1)
3
Ff
(1,0,1) ( 2,3)f [ ](1,
7
0,1)
5
Ff
(1,1,0) (3,2)f [ ](1,
4
1,0)
1
Ff
7
5
3
3
4
1
A
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhất
một ma trận AE,F cở mxn sao cho
:f V W 
,[ ( )] [ ] F E F Ef x A x
với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng.
Định lý
2. Cho ma trận trên trường số K. Khi đó tồn tại
duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa
( )ij m nA a 
: n mf K K 
,[ ( )] [ ] F E F Ef x A x
Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận
và ngược lại.
Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt
hai khái niệm này.
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cặp cơ sở
3 2:f R R 
1. Tìm f (3,1,5),
2 1 3
0 3 4
E FA
Bước 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E:
Bước 2. Sử dụng công thức ,[ ( )] [ ]F E F Ef x A x 
Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.
3
(3,1,5) 2
2
[ ]E
3
2 1 3 14
[ (3,1,5)] 2
0 3 4 2
2
Ff
(3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12)f 
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cặp cơ sở
3 2:f R R 
2. Tìm f (x)
,
2 1 3
0 3 4
E FA
1 2 3( , , ) x x x x (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)   
1 2 3 1 2 1 3; ;x x x x x x x   
[ ]
1 2 3
1 2
1 3
E
x x x
x x x
x x
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ ]
1 2 3
1 2
1 3
2 1 3
( )
0 3 4
F
x x x
f x x x
x x
Theo công thức ta có: [ ] [ ],( ) .F E F Ef x A x 
[ ] 1 2 3
1 2 3
4 5
( )
7 3 4F
x x x
f x
x x x
1 2 3 1 2 3( ) ( 4 5 )(1,1) (7 3 4 )(2,1)f x x x x x x x 
1 2 3 1 2 3( ) (10 5 3 ,3 2 )f x x x x x x x 
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính.3 3:f R R 
Giả sử
1. Tìm f(2,1,5).
2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ,2 ,3 4 )f x f x x x x x x x x x x x x 
3. Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1).
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của
f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf.
,
1 1 1
2 3 3
1 2 4
E EA
3 3:f R R 
Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp.
Cách 2. ker ( ) 0x f f x 
Giả sử
1
2
3
[ ]E
x
x x
x
[ ( )] 0Ef x , .[ ] 0E E EA x 
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 2 2 3 3x x e x e x e 
1
2
3
1 1 1
2 3 3 0
1 2 4
x
x
x
6
[ ] 5Ex
6 (1,1,1) 5 (1,0,1) (1,1,0)x 
(2 ,7 , )x (2,7,1) 
Vậy là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf.(2,7,1){ }E 
dim( er ) =1K f 
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} là
III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3:f R R 
Ví dụ
1. Tính f (4,3, 5)
,
1 0 1
2 1 4
1 1 3
E EA
2. Tìm cơ sở và chiều của Imf.
VI. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của kgvt V:
 (1)1 1 2 2 ... n nx V x x e x e x e 
 (2)' ' ' ' ' '1 1 2 2 ... n nx x e x e x e 
'
1 11 1 21 2 1... n ne a e a e a e 
'
2 12 1 22 2 2... n ne a e a e a e 

'
1 1 2 2 ...n n n nn ne a e a e a e 
'
1 11 1 21 2 1
'
2 12 1 22 2 2
'
1 1 2 2
( ... )
( ... ) ...
( ... )
n n
n n
n n n nn n
x x a e a e a e
x a e a e a e
x a e a e a e
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 & (2)
'
111 12 11
'
21 22 22 2
'
1 2 ,
(1)
n
n
n n n nn n
xa a ax
a a ax x
a a ax x


    

11 12 1
21 22 2
1 2 ,
n
n
n n n n
a a a
a a a
P
a a a


   

Ma trận được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ E sang E’.
Ta có: [ ] [ ] '.E Ex P x 
Cấu trúc ma trận P:
 ' ' '1 2[ ] [ ] [ ]E E n EP e e e 
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}Trong R3 cho cặp cơ sở:
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’.
E’ = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}
Tìm tọa độ của véctơ trong E:
'
1 (1,1,2)e 
'
1
2
0
1
[ ]Ee
Tương tự ta tìm được: '2
2
1
0
[ ]Ee
'
3[ ]
1
0
0
Ee
2
1
0
1
0
0
2
0
1
P
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của V:
Cho ánh xạ tuyến tính W:f V 
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,m mF f f f F f f f Cho hai cơ sở của W:
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
Q là ma trận chuyển cơ sở từ F vào F’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.
Khi đó là ma trận của f trong cặp cơ sở E’ và F’.1 EFQ A P
[ ( )] [ ]F EF Ef x A x ' '[ ( )] [ ]EFF EQ f x A P x 
' '
1[ ( )] [ ]EFF Ef x Q A P x
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E F
E’ F’
A
P Q
Q-1AP
Tóm tắt slide vừa rồi trong sơ đồ như sau:
Chú ý: Q là ma trận chuyển cơ sở từ F sang F’, nên Q khả nghịch.
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{ } ; { }' ' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n nE e e e E e e e Cho hai cơ sở của V:
Cho ánh xạ tuyến tính V:f V 
Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E.
Khi đó là ma trận của f trong cơ sở E’.1P AP 
' '
1[ ( )] [ ]
E E
f x P AP x 
E E
E’ E’
A
P P
P-1AP
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 3:f R R 
Ví dụ
,
1 0 1
2 1 4
1 1 3
E EA
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
trong cơ sở chính tắc.
Cơ sở chính tắc: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)F 
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Ma trận cần tìm là 1B P AP 
Tìm ma trận P lâu. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ
của F trong E. Ma trận là ma trận chuyển từ F sang E.1P 
1
1 1 1
2 1 1
1 2 1
P 
Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f
trong cơ sở là
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
: f V V
Ví dụ
,
2 1 3
1 2 0
1 1 1
E EA
Tìm ma trận của f trong cơ sở
Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.
Ma trận cần tìm là 1B P AP 
Tìm ma trận P. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F
trong E.
1 2 2
0 1 0
0 1 1
P
{ , ,2 }1 2 3 1 2 3 1 2 32E e e e e e e e e e 
{ , , }1 2 3 1 2 2 3F e e e e e e e 
III. Ma trận chuyển cơ sở, đồng dạng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hai ma trận vuông A và B cấp n trên cùng trường K.
Định nghĩa hai ma trận đồng dạng
A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch
P sao cho P-1 A P = B.
Hệ quả
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E.
Cho ánh xạ tuyến tính V.:f V 
B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở F, F.
Khi đó A và B là hai ma trận đồng dạng.