Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
---------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính 
Chương 2: Định thức
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn
NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa định thức và ví dụ.
II – Tính chất của định thức
III – Khai triển Laplace
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------
Cho là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det
nnij
aA
AaA
nnij
)(
Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
thứ i và cột thứ j của ma trận A;
ijM
ij( 1)
i j
ijA M
 Bù đại số của phần tử aij là đại lượng
Định nghĩa bù đại số của phần tử aij
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) k =2:
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
a a
A A a a a a a A a A
a a
a) k =1:   1111 aAaA 
c) k =3:
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
A a a a A a A a A a A
a a a
d) k =n: 11 12 1 11 11 12 12 1 1*
n
n n
a a a
A A a A a A a A


...............
Định nghĩa định thức bằng qui nạp
I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 12 131 2 ( 3)A A A A   
23
32
)1()3(
43
02
)1(2
42
03
)1(1 312111    A
11151612 A
1 1 1 1
11
1 2 3
3 0
2 3 0 ( 1) 12
2 4
3
( )
2 4
1A 
Tính det (A), với
423
032
321
A
Ví dụ
Giải
12
1 1 2 2
* *
j
j
j j j j nj nj
nj
a
a
A a A a A a A
a
 

II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------
1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ
hàng hoặc cột tùy ý nào đó
1 2 1 1 2 2
*
*
i i in i i i i in inA a a a a A a A a A  
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), với
004
225
313
A
Ví dụ
Khai triển theo hàng thứ 3
32
22
31
)1(4
004
225
313
)1(4
004
225
313
1313 
  
  
 A
Giải.
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), với
2 3 3 2
3 0 1 4
2 0 3 2
4 0 1 5
A
Ví dụ
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khai triển theo cột thứ hai
12 22 32 42 12
2 3 3 2
3 0 1 4
( 3) 0 0 0 3
2 0 3 2
4 0 1 5
A A A A A A
     
3 1 4
3 2 3 2 87
4 1 5
A 

Giải
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo.
120145)3(2
10000
94000
82500
17630
40312
   
 A
Ví dụ
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu thìi i
h h
A B
 | | | |B A 
2.Nếu thìi i j
h h h
A B
 
 | | | |B A 
3. Nếu thìi j
h h
A B

 | | | |B A 
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức
1312
2623
0532
1211
A
1504
101
211
||
 A
Khai triển theo cột đầu tiên
1730
1010
2110
1211
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
1312
2623
0532
1211
||
 A
2 2 12 h h h
3 3 13 h h h
4 4 12 h h h
|| A
173
101
211
)1(1 11
  
19
154
11
)1(1 21 
  
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức
1314
2413
0232
1123
A
2 3 2
| | 5 8 0
5 5 0
A
411
253
232
)1(1 41
  
0411
0253
0232
1123
1314
2413
0232
1123
||
 A
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
3 3 12 h h h
4 4 1 h h h
1 3 5 8( 2) ( 1) 30
5 5
  
Khai triển theo cột số 4
|| A
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
det (AT) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B). 
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra
1 1
AA P
A
 , với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A


  

Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0. 
Định lý
Giả sử det(A) 0. Khi đó 
det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0 
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*
*
*
111
111
jjj
jjj
aaa
aaa
B


1 1 2 2
0
| |,
,
i j i j in jn
A i j
a A a A a A
i j

*
*
*
111
111
iii
jjj
aaa
aaa
A


II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.
1 1det( )
det( )
A
A
2. Nếu A khả nghịch, thì
1det( ) (det( ))nAP A
Chứng minh.
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó
1 1
AA P
A
 , với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A


  

Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của
043
132
111
A
Giải. 02)det( A A khả nghịch
Tính 9 bù đại số của các phần tử
1 1
11
3 1
( 1) 4;
4 0
A 1 212
2 1
( 1) 3;
3 0
A 1 313
2 3
( 1) 1
3 4
A 
21 22 23 31 32 334; 3; 1; 2; 1; 1A A A A A A 
1
4 4 2
1
3 3 1
2
1 1 1
A 
Tính det(A), nếu
Ví dụ 1
2 1 1 3
3 2 1 2
4 1 0 1
3 3 2 2
A
Tính det(A), với
Ví dụ 2
4 1 1 0
3 2 4 1
2 1 3 1
5 1 2 3
A
Khẳng định nào sau đây đúng?
Ví dụ 3
2
3
2 1 3
3 2 3 1
( )
3 5 2 1
6 3 2 1 9
x
x
f x
x x
x
a) Bậc của f(x) là 5.
b) Bậc của f(x) là 4.
c) Bậc của f(x) là 3.
d) Các câu khác đều sai.
Tính định thức của ma trận sau
Ví dụ 4
1 0 1
0 1
1 1
i
A i
i i
Tính định thức
Ví dụ 5
1 2 2 2 2
2 1 2 2 2
2 2 1 2 2
2 2 2 1 2
2 2 2 2 1
I 
Giải phương trình, với a, b, c là các số thực.
Ví dụ 6
2 3
2 3
2 3
2 3
1
1
0
1
1
x x x
a a a
b b b
c c c
Giải phương trình
Ví dụ 7
1 1 1 1
1 1 1 1
01 1 2 1
1 1 1
x
x
n x



    

Tính định thức
Ví dụ 8
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
I 



    

Tính định thức
Ví dụ 9
1 2 3
1 0 3
1 2 0 0
1 2 3 0
n
n
n
D



    

Tính định thức
Ví dụ 10
3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3
nD 



    

Giải phương trình trong C
Ví dụ 11
2 2 3
2 3 4
0
0 0 7 6
0 0 5 3
x
x 
Tính định thức
Ví dụ 12
7 5 0 0
2 7 5 0
0 2 7 0
0 0 0 7
nD 



    

Khai triển theo hàng 1, ta cóGiải ví dụ 9 11 127 5nD A A 
1 1 1 1
7 5 0 0 2 5 0 0
2 7 5 0 0 7 5 0
7( 1) 5( 1)0 2 7 0 0 2 7 0
0 0 0 7 0 0 0 7
nD
 
 
 
         
 
1 1
1
7 5 0 0
2 7 5 0
7 5.2( 1) 0 2 7 0
0 0 0 7
n nD D



    

1 27 10n n nD D D 
1 1 25 2( 5 )n n n nD D D D 
1 2 2 35 2( 5 )n n n nD D D D 
2
1 2 35 2 ( 5 )n n n nD D D D 
2
1 2 15 2 ( 5 ) * ( )
n
n nD D D D
1 27 10n n nD D D 
1 1 22 5( 2 )n n n nD D D D 
1 2 2 32 5( 2 )n n n nD D D D 
2
1 2 12 5 ( 2 ) * )*(
n
n nD D D D
2
1 2 15 2 ( 5 ) * ( )
n
n nD D D D
1 2* **( )& ( ) theo vaø nD D D 
Tính định thức
Ví dụ 13
5 3 0 0
2 5 3 0
0 2 5 0
0 0 0 5
nD 



    

Tính định thức
Ví dụ 14
9 5 0 0
4 9 5 0
0 4 9 0
0 0 0 9
nD 



    

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tính định thức
Ví dụ 15
1 2 1
2 3 1
3 5 2
A
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
Ví dụ 16
1 0 0 0
2 1 0 0
5 4 1 0
1 2 3 2
A
Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch
Ví dụ 17
1 1 2 1
2 1 5 3
5 0 7
1 2 3 3
A
m
Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau khả nghịch.
Ví dụ 18
1 2 1 1 1 1
2 3 2 3 2
3 2 1 5 7 5
A m
Cho . 1) Tính det (A-1).
Ví dụ 19
1 1 1
2 3 1
3 3 5
A
 2) Tính det (5A)-1.
3) Tính det (PA).
Cho
Ví dụ 20
3 3[ ]; [ ];det( ) 2;det( ) 3.A M R B M R A B 
1) Tính det (4AB)-1.
2) Tính det (PAB).
Cho k là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n; i1, i2, , ik và j1, j2,
, jk là những số tự nhiên thỏa
1 2 1 21 ... ;1 ...k ki i i n j j j n 
III. Khai triển Laplace
-----------------------------------------------------------------------------
Định thức con cấp k, ký hiệu bởi , là định thức thu được từ
A bởi những phần tử giao của k hàng i1, i2, , ik và k cột j1, j2, , jk
.
1
1
,...,
,...,
k
k
i i
j ja
Định nghĩa định thức con cấp k
III. Khai triển Laplace
-----------------------------------------------------------------------------
Định lý (Khai triển Laplace)
Định thức của ma trận vuông A bằng tổng tất cả các tích của định
thức con cấp k rút ra từ k hàng (hoặc k cột) nào đó với bù đại số
của chúng.
Đại lượng 1 11
1
1
1
. . . . . . ,,. . . ,
,
. . . ,
. . . , ,. . . ,( 1)
n
n
n n n
n
i ii i
j j
j j i i
j jMA
được gọi là bù đại số cấp k của 1
1
,...,
,...,
k
k
i i
j ja
III. Khai triển Laplace
-----------------------------------------------------------------------------
Tính định thức bằng khai triển Laplace.
bước 1. Chọn k hàng (hoặc k cột) tùy ý
bước 2. Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã
chọn. Tổng cộng có định thức con cấp k.knC
bước 3. Tìm tất cả các bù đại số cấp k tương ứng của các định thức
con cấp k ở bước 2.
bước 4. Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định
thức con cấp k với bù đại số của chúng.
III. Khai triển Laplace
-----------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 21
Tính định thức của A bằng cách sử dụng khai triển Laplace.
2 3 1 1
3 0 1 0
5 2 4 1
1 0 2 0
A
III. Khai triển Laplace
-----------------------------------------------------------------------------
Giải
Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4.
3 0 1 0
1 0 2 0
Tồn tại định thức con cấp 2 nhưng chỉ có 1 khác không.2
4 6C 
2,4
1,3
3 1
5
1 2
a
2,4 2 4 1 3
1,3
3 1
( 1) 1
2 1
A 
2,4 2,4
1,3 1,3det( ) . 5.1 5A a A 
Tính det(A) sử dụng khai triển Laplace
Ví dụ 22
2 1 2 3 5
1 0 3 0 2
3 4 2 5 1
2 0 1 0 4
3 2 5 2 1
A
III. Khai triển Laplace
----------------------------------------------------------------------------
Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4.
1 0 3 0 2
2 0 1 0 4
Tồn tại định thức con cấp 2 nhưng chỉ có 2 khác không.25 10C 
2,4
1,3
1 3
5
2 1
a 2,4 1 3 2 4
1,3
1 3 5
( 1) 4 5 1
2 2 1
A 
2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,4
1,3 1,3 1,5 1,5 3,5 3,5det( ) . . .A a A a A a A 
2,4
1,5
1 2
0
2 4
a 2,43,5
3 2
10
1 4
a 
II. Tính chất của định thức 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán.
Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán
trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000
năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán).
Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính
det (A).
Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và
chia. Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25
trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán.