Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Chöông 1: Ma traän
• Giaûng vieân: Ts. Ñaëng Vaên Vinh (9/2008)
www.tanbachkhoa.edu.vn
NOÄI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Ñònh nghóa ma traän vaø ví duï
III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ma traän
II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
IV. Haïng cuûa ma traän
V. Ma traän nghòch ñaûo
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận
Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m
hàng và n cột .
Ma trận A cở mxn
mnmjm
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
A
......
......
......
1
1
1111


Hàng i
Cột j
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 1.
32502
143
 A
Đây là ma trận thực cở 2x3.
Ma trận A có 2 hàng và 3 cột.
5;0;2;1;4;3 232221131211 aaaaaaPhần tử của A:
Ví dụ 2
223
21
ii
i
A
Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu 
là Mmxn[K]
Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi
nmij
aA
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
---------------------------------------------------------
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không,
ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).
Định nghĩa ma trận không
000
000
A
I. Caùc khaùi nieäm cô baûn vaø ví duï
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận dạng bậc thang
1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng
2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng 
cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái
được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5000
3000
2112
B Không là ma trận 
bậc thang
Ví dụ
5400000
52140
62700
23012
 A Không là ma trận 
bậc thang
I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Là ma trận dạng 
bậc thang
Ví dụ
5400000
52000
41700
22031
 A
Là ma trận dạng bậc 
thang
7000
3100
2021
B
23
93
01
42
 TA
32904
312
 A
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ
----------------------------------------------------------
Chuyển vị của là ma trận cở nXm 
thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.
mnij
T aA
Định nghĩa ma trận chuyển vị
nmij
aA
Ví dụ
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
----------------------------------------------------------
Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A
được gọi là ma trận vuông cấp n.
Định nghĩa ma trận vuông
2223
12
 A
Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu
bởi [K]nM
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
----------------------------------------------------------
2 3 1 1
3 4 0 5
2 1 3 7
2 1 6 8
Các phần tử a11, a22,,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận
vuông A.
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
----------------------------------------------------------
Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu
Định nghĩa ma trận tam giác trên
200
630
312
A
 ij n nA a 
ij 0, a i j  
Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới
nếu
Định nghĩa ma trận tam giác dưới
2 0 0
4 1 0
5 7 2
A
 ij n nA a 
ij 0,  a i j
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
---------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm
ngoài đường chéo đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠ j).
Định nghĩa ma trận chéo
200
030
002
D
Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là
ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).
Định nghĩa ma trận đơn vị
100
010
001
I
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. 
---------------------------------------------------------------
Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài ba
đường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó một
đường) đều bằng không.
Định nghĩa ma trận ba đường chéo.
9500
1840
0713
0021
A
I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.
---------------------------------------------------------------
Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,.n và j =1,,n
được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)
Định nghĩa ma trận đối xứng thực
073
741
312
A
Ma trận vuông A thỏa aij = - aji với mọi i và j (tức là A = -A
T)
được gọi là ma trận phản đối xứng.
Định nghĩa ma trận phản đối xứng
1 3
1 7
3 7
0
0
0
A
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
i jh h3. Đổi chổ hai hàng tùy ý
; 0 i ih h1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không
;  i i jh h h
2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số
tùy ý
Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột.
Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,
thường dùng nhất!!!
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các 
phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. 
Định lý 1
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được 
nhiều ma trận bậc thang khác nhau
Chú ý
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau
đây về ma trận dạng bậc thang.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
Ví dụ
Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọn 
phần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 1 0 1 1
0 2 1 1 2
4 4 1 
 
h h h
2 2 12 
h h h
3 3 13 h h h
4 4 3
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 0 0 0
  
h h h
Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử còn lại của 
cột.
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
A
Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những 
hàng trên nó. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại
3 3 2
4 4 22
1 1 1 2 1
0 1 1 0 3
0 0 1 1 4
0 0 1 1 4
  
h h h
h h h
II. Các phép biến đổi sơ cấp.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang 
U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A.
Định nghĩa
Cột của ma trận bậc thang A được gọi là cột cơ sở nếu cột đó 
chứa phần tử cơ sở
Định nghĩa
1 2 0 2
0 0 1 3
0 0 0 7
A
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những
vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j).
Sự bằng nhau của hai ma trận
Tổng A + B:
Cùng cở
Các phần tử tương ứng cộng lại
Phép cộng hai ma trận
741
623
;
503
421
BA 
1244
1002
BA
Ví dụ
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần
tử của ma trận.
503
421
A 
1006
842
2 A
Ví dụ
Tính chất:
a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);
c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;
e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3 
của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau)
Phép nhân hai ma trận với nhau
( ) ; ( )pij m i pj nA a B b 
nmijcCAB )( với pjipjijiij bababac ...2211
1
2
1 2
*
* *
... ... ...
*
j
j
i i ip
pj
ij
b
b
AB a a a
b
c



11 12 13
21 22 23
1 2 2
2 1 4
3 0 1
4 1 0
2 4 3
c c c
A B
c c c
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------
342
103
221
;
014
412
BA
Ví dụ
Tính AB
11c 2 1 4 
1
3
2
2 1 ( 1) 3 4 2 7 
12 13
21 22 23
7 
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 1 1
;
4 1 3
A B
Ví dụ
Tìm ma trận X, thỏa AX = B.
Xác định cở của ma trận X là 2x1. 
AX=B
a
X
b
Đặt 
2 1 1
4 1 3
a
b
2 1
4 3
a b
a b
2 1
4 3
a b
a b
2 1
,
3 3
a b 
2/ 3
Vaäy 
1/ 3
X
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------
a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC;
e. k (AB) = (kA)B = A(kB).
d. ImA = A = AIm
Tính chất của phép nhân hai ma trận
c. (B + C)A = BA + CA;
Chú ý:
1. Nói chung BAAB 
2. ACAB CB 
0 AB 00  BA3.
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nnij
n
n
n
n aAaxaxaxaxf 
 )(;...)( 01
1
1
Nâng ma trận lên lũy thừa.
n
n
A A A A A  
0Qui öôùc: A I 
1
1 1 0( ) ... .
n n
n nf A a A a A a IA a
2A A A 
3A A A A  
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22 1 ; ( ) 2 4 3
3 4
A f x x x
Ví dụ
Tính f(A).
2( ) 2 4 3f A A IA 
2 1 2 1 2 1 1 0
( ) 2 4 3
3 4 3 4 3 4 0 1
f A
1 6 8 4 3 0
( ) 2
18 13 12 16 0 3
f A
3 8
( )
24 13
f A
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 3
.
0 1
A
Ví dụ
Tính A2; A3, từ đó suy ra A200
2 1 3 1 3
0 1 0 1
A A A
  
1
1
6
0
3 2 1 6 1 3
0 1 0 1
A A A
  
1
1
9
0
200 1
0 1
200 3
A
III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 3
.
0 2
A
Ví dụ
Tính A200
2 3 1 3/ 2
2
0 2 0 1
A
  
1
2
0 1
a 
1 1
Ta coù: 
0 1 0 1
n
a na 
200200
200
200
3002 2
0 2
A

III. Các phép toán đối với ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1
.
1 1
A
Ví dụ
Tính A200
2 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
A
1 1
2 2
1 1
A
1Suy ra: A 2n n A 
199 199
200
199 199
2 2
2 2
A
3 2
.
2 3
AVí dụ Tính A200
1 1 1 0
2 2
1 1 0 1
A B I
Vì B và I giao hoán nhau nên ta dùng nhị thức Newton 
 200 200 1990 1 200 200200 200 2002 2 2 ...B I C B C B C I 
12n nB B 
0 200 200 1 1 199 199 1 200 200
200 200 2002 .2 2 .2 ...C B C B C I
 0 200 1 199 199 200200 200 200 2004 4 ... .4
2
B
C C C C I 
 2004 1 1 .
2
B
I 
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa hạng của ma trận
Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang
E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác
không của ma trận bậc thang
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E
Giải.
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
A
1 2 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
2 3
1 2 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0

  
h h
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
A
( ) 2r A 
2 2 1
3 3 1
2
3
 
h h h
h h h
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận sau
1 2 3 3
2 4 6 9
2 6 7 6
A
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
2 3 1 4
3 4 2 9
2 0 1 3
A
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =3
1 1 1 2
2 3 4 1
3 2 1
A
m m
1 1 1 2 1 1 1 2
2 3 4 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 3 5
A
m m m m
1 1 1 2
0 1 2 3
0 0 1 8
 m m
r(A) = 3 với mọi giá trị m.
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2
1
1
1
m m
A m m
m m
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3.
1 1 1 1
2 3 1 4
3 3 1
A
m m
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của hạng ma trận
1. r (A) = 0 A = 0
2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n} 
BĐSC
3. Nếu A B, thì r (B) = r (A)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
2 2 2
0 0 0
0 0 0
( ) 1.r A 
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại
ma trận I sao cho AB = I =BA. Khi đó B được gọi là nghịch
đảo của A và ký hiệu là A-1.
2 2
2 1
5 3
A
 2 2
3 1
5 2
B
Giả sử 
2 1 3 1 1 0
5 3 5 2 0 1
AB I
3 1 2 1 1 0
5 2 5 3 0 1
BA I
1 3 1
5 2
A B 
 
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có 
rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch. 
Chú ý
Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến
Định nghĩa
Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ma trận vuông A, các mệnh đề sau đây tương đương
Sự tồn tại của ma trận khả nghịch.
1. Tồn tại A-1 (A không suy biến)
2. r(A) = n
3. AX = 0 suy ra X = 0.
4. A I
Tương đương hàng
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được 
gọi là ma trận sơ cấp.
Định nghĩa ma trận sơ cấp
Ví dụ
2 2 1
2
2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 0 0 1
h h hI E 
  
3 3
3
1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 3
h hI E 
  
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng 
nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.
3 1
3
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
h hI E
  
Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng 
nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
3 1
2 1 1 3 2 1
1 1 0 1 1 0
3 2 1 2 1 1
h hA B
  
3 2 1 0 0 1 2 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0
2 1 1 1 0 0 3 2 1
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1
bñsc haøng ...n nA I I E E E A  
1
1 1...n nA E E E I
1 ôû treânbñsc haøngI A  
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tìm A-1
[ A|I ] [ I|A-1 ]Bđsc đối với hàng
Ví dụ
Tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận
321
221
111
A
101
011
001
210
110
111
100
010
001
321
221
111
]|[ IA
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
110
121
111
100
010
011
110
011
001
100
110
111
]|[
110
121
012
100
010
001
1 
 AI
110
121
012
1A
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính bằng các phép sơ cấp đối với hàng của ma trận 
[ A|I ] ta cần sử dụng 
Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1
n3 phép nhân hoặc chia
n3 – 2n2 + n phép cộng hoặc trừ
1 
 nnA
Đối với hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đây 
đúng. 
Tính chất của ma trận nghịch đảo
(A-1)-1 = A
Tích AB là hai ma trận khả nghịch.
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T
IV. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch
1 1 2
2 1
3 2 1
A m
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho A khả nghịch.
1 1 1 1
2 3 1 4
3 3 1
A
m m
VI. Kết luận
------------------------------------------------
Hạng của ma trận là gì?
Ma trận là gì? Ma trận vuông ? Ma trận bậc thang
Ma trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị?
Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng?
Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trước?
Ma trận khả nghịch là gì? 
Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho trước?
Các phép toán đối với ma trận: Sự bằng nhau Phép cộng
Nhân ma trận với một số Nhân hai ma trận với nhau
Nghịch đảo của ma trận A là gì? 
Nâng lên lũy thừa
Thực hiện phép toán
Bài tập 1
2 3 2
1 2 1
1 2 3
3 0 4
1 1 4
Tìm f(A), biết
Bài tập 2.
2( ) 3 4 5f x x x và
2 3
4 1
A
Bài tập 3.
Tìm ma trận X, sao cho AX = B, với
2 1
3 1
A
và
2
3
B
Cho
Bài tập 4
Tính
2 1
2 3 4
; 1 3
1 2 7
3 2
A B
3 2 TA B 
Đưa ma trận sau về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp
Bài tập 5.
1 1 2 1 1
2 1 3 4 2
3 4 7 3 1
1 3 4 7 3
Bài tập 6
Tìm ma trận nghịch đảo, nếu có 1 1 1
2 3 1
3 4 1
A
Bài tập 7
Đưa về ma trận bậc thang, tìm hạng của ma trận
1 1 1 0
3 4 2 1
2 0 1 3
A
Bài tập 8
Tìm ma trận A, nếu
1 0 5 2
5 3
2 3 6 1
A A
Bài tập 9
Tìm các giá trị của s và t, sao cho ma trận sau là đối xứng
2
2
1
s s st
A t s
t s s
Bài tập 10
Cho , cho A là ma trận cở 3xn, B cở nx3.
1 0 0
0 0 1
0 1 0
P
a) Mô tả PA theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với hàng
b) Mô tả BP theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với cột
Bài tập 11
Cho A, B, C là các ma trận, đơn giản biểu thức sau
(3 ) ( 3 ) 2 ( 2 )A B C A B C B C A 
Bài tập 12
Tìm ma trận nghịch đảo của A
2 7 1
1 4 1
1 3 0
A
Bài tập 13
Tính A43, biết
2 1
3 2
A
Cho là ma trận vuông.
Bài tập 14
cos sin
sin cos
A
a) Tính A2.
b) Tính An.
Bài tập 15
Cho hai ma trận A và B
1 1 1
0 1 1
0 0 2
A
3 2
1 4
0 1
B
Tìm tất cả ma trận X, sao cho AX = B.
Bài tập 16
Tìm tất cả các giá trị m sao cho (A) = 2
1 1
1 1
1 1
m
A m
m
Bài tập 17
Biện luận theo m hạng của ma trận A
1 1 2
2 1 5
1 10 6
m
A m
m
Bài tập 18
Tìm tất cả số thực m, sao cho ma trận A khả nghịch
1 1 1
2 3 1
3 5
A
m
Bài tập 19
Tìm tất cả các số thực m, sao cho ma trận A khả nghịch
1 1 1 2
2 3 1 4
3 2 1
A
m m
Bài tập 20
Giả sử A là ma trận khả nghịch cấp 5. Tìm r(A) và r (A-1)