Bài giảng Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

1 
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục 
Mômen quán tính của mặt cắt ngang 
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính 
Công thức xoay trục của mômen quán tính 
2 
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục 
3 
Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục 
S x , S y mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục x, y có thứ nguyên S x , S y là (chiều dài) 3 
Do x, y có thể âm hoặc dương nên S x , S y có thể âm hoặc dương. 
S X =0, S y =0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ S X =0 thì trục x đi qua trọng tâm mặt cắt. 
Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm của mặt cắt 
4 
Trọng tâm mặt cắt 
5 
Mômen quán tính của mặt cắt ngang 
Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục 
J X , J y là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x, y, có thứ nguyên là (chiều dài) 4 
6 
Mômen quán tính của mặt cắt ngang 
Mômen quán tính độc cực (mômen quán tính đối với một điểm) 
 là khoảng cách từ A(x,y) đến gốc tọa độ, với 2 = x 2 +y 2 
7 
Mômen quán tính của mặt cắt ngang 
 Mômen quán tính ly tâm 
8 
Mômen quán tính của mặt cắt ngang 
Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính . Nếu hệ trục quán tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ trục quán tính trung tâm . 
Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính. 
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính. 
9 
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 
Mặt cắt hình chữ nhật 
10 
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 
Mặt cắt hình tam giác 
11 
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 
Mặt cắt hình tròn 
12 
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 
Mặt cắt ngang hình vành khăn 
13 
Bán kính quán tính 
i x , i y : bán kính quán tính của 
mặt cắt ngang đối với trục x 
và trục y 
14 
Bán kính quán tính 
Mặt cắt hình chữ nhật: 
Mặt cắt hình tròn: 
Mặt cắt hình vành khăn: 
15 
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính 
Vấn đề: biết J x , J y , J xy đối với hệ trục Oxy. Tìm J X , J Y , J XY đối với hệ trục song song OXY 
16 
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính 
17 
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính 
Nếu x, y là hệ trục trung tâm, thì S x = S y = 0 
Nếu xy là hệ trục quán tính chính trung tâm, thì S x = S y = 0 và J xy = 0 
18 
Công thức xoay trục của mômen quán tính 
Vấn đề 
Có diện tích mặt cắt ngang F 
Giả sử biết: mômen quán tính của diện tích F (J x , J y , J xy ) đối với hệ trục Oxy. 
Tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục Ouv 
19 
Công thức xoay trục của mômen quán tính 
Gọi (u, v) là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta có 
u = xcos + ysin 
v = -xsin + ycos 	(a) 
Mômen quán tính đối với hệ trục Ouv là 
20 
21 
Công thức xoay trục của mômen quán tính 
Vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm được xác định từ điều kiện J uv =0 hay 
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính 
22 
Ví dụ 4.1 
Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 
23 
Ví dụ 4.1 
Xác định trọng tâm mặt cắt 
24 
Ví dụ 4.1 
Mômen quán tính chính trung tâm 
25 
Ví dụ 4.1 
Bán kính quán tính chính 
26 
Ví dụ 4.2 
Một thanh ghép gồm hai thanh 
Thép chữ  có số hiệu N 0 20a 
Thép góc đều cạnh có số hiệu N 0 8(80x80x6). Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 
27 
Ví dụ 4.2 
Đối với thép chữ  (số hiệu N 0 20a) 
h = 20cm 
b 1 = 8cm 
z 1 = 2,27cm 
F 1 = 25cm 2 
J x1 = 1660cm 4 
J y1 = 137cm 4 
28 
Ví dụ 4.2 
	Đối với thép chữ góc đều cạnh (số hiệu N 0 8 (80x80x6) 
b 2 = 8cm 
z 2 = 2,19cm 
F 2 = 9,38cm2 
J x2 = J y2 = 57cm 4 
J x0 = J max = 90,4cm 4 
J y0 = J min = 23,5cm 4 
29 
Ví dụ 4.2 
	Xác định trọng tâm mặt cắt: 
	Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C 1 và C 2 là tọa độ trọng tâm của thép  và thép V: 
C 1 (-1,217; -2,13), 
	 C 2 (3,25; 5,68) 
30 
Ví dụ 4.2 
Mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 
31 
Ví dụ 4.2 
32 
Ví dụ 4.2 
Để tính được mômen quán tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục O 2 x 2 y 2. 
sin2 =sin90 0 =1 
J x0y0 =0 
33 
Ví dụ 4.2 
34 
Ví dụ 4.2 
35 
Ví dụ 4.2 
Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là: 
Giải ra ta được 1 = -8 0 36’, 2 =81 0 24’ 
36 
Ví dụ 4.2 
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm 
37 
Ví dụ 4.3 
Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 
38 
	Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa độ C(1,5a; 4a). Qua C lập hệ trục trung tâm XCY, khi đó C 1 , C 2 đối với hệ trục XCY là 
	Xác định trọng tâm mặt cắt 
	Chọn hệ trục xOy, chia mặt cắt thành hai hình, trọng tâm mặt cắt được xác định từ công thức 
39 
Ví dụ 4.3 
Mômen quán tính chính 
40 
Ví dụ 4.3 
Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 
Giải ra ta được 1 = -29 0 , 2 =61 0 
41 
Ví dụ 4.3 
Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là: