Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường điện từ - Nguyễn Việt Sơn

cơ SỞ LÝ THUYẾT
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Giáo viên: TS. Nguyễn Việt Sơn
Bộ môn: Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp
C1 - 108 - Đại học Bách Khoa Hà Nội
- 2010 -
Cơ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐiỆN TỪ
Tài liệu tham khảo:
Cơ sở lý thuyết trưửng điện từ - Nguyễn Bình Thành, 1970.
Electromagnetics -John D. Krauss - 4th edition, McGraw-Hill, 1991
Electromagnetic fields and waves - Magdy F. Iskander, Prentice Hall, 1992.
Electromagnetics - E.J. Rothwell, M.J. Cloud - CRC Press, 2001.
Engineering Electromagnetics - W.H. Hayt, J.A. Buck - McGraw-Hill, 2007 (*).
Fundamentals of Engineering electromagnetics - R. Bansal - CRC Press, 2006 (*)
(*) 
cơ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐiỆN TỪ
Nội dung chương trình:
Giải tích vector
Giới thiệu
Luật Coulomb và cường độ điện trường
Dịch chuyển điện, luật Gauss, dive
Năng lượng và điện thế
Vật dẫn - Điện môi - Điện dung
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Các phương trình Poisson và Laplace.
Từ trường dừng
Lực từ và điện cảm
Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell
Sóngphẳng
Phản xạ và tán xạ sóng phẳng
Dẩn sóng và bức xạ
cơ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐiỆN TỪ
Chương 1: Giải tích vector
Vô hướng và vector.
Hệ tọa độ Descartes.
• • •
Tích vô hướng - Tích có hướng.
Hệ tọa độ trụ.
• • • •
Hệ tọa độ cầu.
• • •
Một số công thức giải tích vector
Chương 1: Giải tích vector
Vô hướng và Vector.
Đại lượng vô hướng: Là các đại lượng được biểu diễn bằng 1 số thực (dương, âm).
Ví dụ: Khoảng cách, thời gian, nhiệt độ, khối lượng, áp suất, thể tích ...
Ký hiệu: t, m, E, p, ...
Đại lượng vector: Là các đại lượng được biểu diễn bằng độ lớn (số thực dương, âm) và hướng trong không gian (2 chiều, 3 chiều, ... nhiều chiều).
Ví dụ: Lực, vận tốc, gia tốc, điện trường, từ trường ...
Ký hiệu: A, B, E, H,... (có thể thay bằng A,B,E,H,...)
Có 3 phương pháp đơn giản để mô tả chính xác 1 vector:
Hệ tọa độ Descartes.
Hệ tọa độ trụ.
Hệ tọa độ cầu.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 1: Giải tích vector
5
dv= dxdydz
z = z
kích thước
dz
X
, dx dy
Hệ tọa độ Descartes.
Được tạo bởi 3 trục vuông góc với nhau từng đôi một.
Các trục được chọn theo quy tắc vặn đinh ốc.
Một điểm A trong không gian Descartes :
❖ Giao điểm của 3 mặt phẳng.
❖ Xác định được tọa độ xa, ya, za.
❖ p là điểm gốc của vi khối có các vi phân
dx, dy, dz.
-> Thể tích của vi khối: dv = dxdydz
Chương 1: Giải tích vector
Hệ tọa độ Descartes.
• • •
> Xét vector r trong hệ tọa độ Descartes:
X, y, z là các vector thành phần của r Vector thành phần X, y, z
Độ lớn phụ thuộc vào vector r.
Hướng không thay đổi.
Phân tích theo các vector đơn vị.
x = xax;y=yay;z = zaz
r = xax + yay + zaz = rxax + ryay + rzaz
Độ lớn của vector:
Vector đơn vị theo hướng của B: as =
Chương 1: Giải tích vector
Tích vô hướng - Tích có hướng.
Tích vô hướng
A . B = |A| IB| cosOAB
IA|, |B| độ lớn của vector A, B
0AB là góc nhỏ hơn giữa 2 vector A và B
> A.B=ẠA+AẠ+>íA : A.B = B.A
Thành phần vô hướng của vector B theo hướng vector đơn vị a
aA • aA _ 1
> Xét vector B và vector đơn vị a theo hướng của B:
B . a = |B| |a| cos 0Ba= |B| cos 0Ba
(B . a) a -> vector hình chiếu của vector B lên
phương (hướng) của vector đơn vị a
(B. a) a
Thành phần có hướng của vector B theo hướng vector đơn vị a
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 1: Giải tích vector
III. Tích vô hướng - Tích có hướng.
Tích vô hướng
> Ví dụ: Xét một trường vector G = yax - 2.5xay + 3az, và điểm Q(4, 5, 2), vector aAr =-Í2a +a„-2a i-Tmh:
N 2 \ X y	z)
Giá trị của trường vector G tại điểm Q
Tính thành phần vô hướng của G tại Q theo hướng của vector aN
Tính thành phần có hướng của G tại Q theo hướng của vector aN
Giải:
Giá trị của trường vector: G(rQ) = 5ax - 2,5.4.ay + 3az = 5ax - 10ay + 3az
Thành phần vô hướng:
G.av = (5ax -10a,+3az).l(2ax +ay -2az) = 1(10-10-6) = -2
Thành phần có hướng:
(G.a^)a^ = (-2) — (2ax +ay -2az) = -1.333ax -0.667a^ + 1.333az
Cơ sở lý thuyết trường điện từ	8
Chương 1: Giải tích vector
III. Tích vô hướng - Tích có hướng.
2. Tích có hướng
> Định nghĩa:
A X B = aN |A| |B| sinớ^ trong đó aN vector pháp tuyến ax
A X B = - (B X A) A X B = Ax
ax, ay, az : véctơ đơn vị của các trục X, y, z
Ví dụ:
A = 2ax - 3ay + az ; B = -4ax - 2ay + 5az
a a.
X y
AxB = 2 -3
a. a_
y z
4 4
AXB
1 = -13ax-14ay-16az
Chương 1: Giải tích vector
(a) P(p, <p, z)
Hệ tọa độ trụ tròn
• • • •
Một điểm p trong hệ tọa độ trụ tròn:
p khoảng cách từ p đến trục trụ.
ọ góc dương hợp bởi trục tọa độ góc với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của p lên mặt tọa độ cực.
z độ cao của điểm p so với mặt phang của hệ tọa độ góc.
Có thể coi p là giao của 3 mặt:
Mặt phẳng z = const
Mặt cong p = const.
Mặt phẳng đường sinh (p = const.
> Không xét các hệ tọa độ trụ ellipse, hệ tọa độ trụ hyperbol, ...
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 1: Giải tích vector
11
Hệ tọa độ trụ tròn .
• • • •
Vector đơn vị trong hệ tọa độ trụ tròn: ap, aọ, az
ap: vector pháp tuyến của mặt trụ p = Pi
aọ : vector pháp tuyến của mặt phẳng = <p Ị
az : tương tự trong trục tọa độ Descartes
Tính chất:
đạo hàm, tích phân theo biến (p, các vector
ap, aọ là hàm của (p.
ap x a<p = az
Công thức
chuyển đỗi:
X = pcostp y = psinợ?
(b)
y
< (p = arctg —
X
12
ap, aọ thay đổi theo trong các phép
Chương 1: Giải tích vector
Hệ tọa độ trụ tròn .
• • • •
> Xét vi khối có kích thướng vô cùng nhỏ có kích thước dp, pckp, và dz
Diện tích mặt trụ:
27ir.(h + r)
Thể tích khối trụ:
7ĩ.r2.h
(h chiều cao của trụ)
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
V. Hệ tọa độ cầu
• • •
Chương 1: Giải tích vector
P(r, 0, (?)
Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ Descartes: Một điểm p trong không gian được xác định bởi
r khoảng cách từ p đến gốc tọa độ (tâm cầu).
0 góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường thẳng nối gốc tọa độ với điểm p.
(p góc dương hợp bởi trục X với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của p lên mặt tọa độ cực.
Có thể coi điểm p trong không gian tọa độ cầu là
ớ = a constant (cone)
r “ a constant
(sphere)
0 = a constant (plane)
giao của 3 mặt phẳng:
Chương 1: Giải tích vector
Hệ tọa độ cầu
• • •
> Xây dựng hệ tọa độ cầu dựa trên hệ tọa độ Descartes: Một điểm p trong không gian được xác định bởi:
r khoảng cách từ p đến gốc tọa độ (tâm cầu).
0 góc hợp bởi chiều dương của trục z với đường thẳng nối gốc tọa độ với điểm p.
♦♦♦ <p góc dương hợp bởi trục X với đường thẳng nối gốc tọa độ với hình chiếu của p lên mặt tọa độ cực.
Chương 1: Giải tích vector
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
V. Hệ tọa độ cầu
• • •
> Vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu:
ar: vector pháp tuyến của mặt cầu tại điểm p, có chiều hướng ra ngoài, nằm trên đáy của hình nón 0 = const, và mặt phẳng (p = const
ae : vector pháp tuyến của đáy mặt nón, nằm trong mặt phẳng, và tiếp tuyến với
X mặt cầu tại p.
❖ aọ : giống trong hệ tọa độ trụ tròn.
Công thức
chuyển đỗi:
X = rsinớcosẹ?
< y = r sin 0 sin (p
z = r cos 0
16
'. j minỉỉdộ
Chương 1: Giải tích vector
Hệ tọa độ cầu
• • •
Xét 1 vi khối có kích thước vô cùng nhỏ:
dv = r2 sin0 dr d9 dcp
Diện tích mặt cầu:
Scầu = 47t.r2
Thể tích khối cầu:
= 4/3. 71. r3
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 1: Giải tích vector
(đ)
17
Một số công thức giải tích vector
Tính độ biến thiên vector (Grad - gradient)
. SA 'SA . SA
Grad A = —— av + —— a + —— a, Sx Sy y Sz z

Tính độ tản của vector (div - divergence)
^.A_V7A_^4 . ÔAy . SAZ div A = VA =	+ —-— +
Sx Sy Sz
Rot A = V X A =
ax ay az
SA SA SA
Sx Sy Sz A A A
Tính độ xoáy của vector (Rot - rotationnel)
._ Ố2A £2A s2a divgradA = AA = ^- + ^- + ^-j-
Sx Sy Sz
cơ SỞ LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐiỆN TỪ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Khái niệm cơ bản.
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện.
Cường độ điện trường của điện tích điểm.
Cường độ điện trường của điện tích khối liên tục.
Cường độ điện trường của điện tích đường.
Cường độ điện trường của điện tích mặt.
Đường sức - Ống sức.
19
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Khái niệm cơ bản
•
Định nghĩa: Trường điện từ là một dạng vật chất cơ bản, chuyển động với vận tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính trong chân không, nó thể hiện sự tồn tại và vận động qua những tương tác với một dạng vật chất khác là những hạt hoặc những môi trường mang điện.
Tính tồn tại'. Trường điện từ có khả năng tác dụng động lực học lên các vật thể, trường điện từ có năng lượng, động lượng phân bố, chuyển động trong không gian, với vận tốc hữu hạn.
Tính vận động'. Thể hiện ở khả năng tác dụng lên các vật thể, môi trường (vd: lực lorenx) và sự lan truyền tác dụng đó.
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Khái niệm cơ bản
Trong một hệ quy chiếu có quán tính, trường điện từ có hai mặt tương tác lực (lực Lorentz') với hạt (vật nhỏ) mang điện tùy theo cách chuyển động của vật trong hệ.
Lực điện Fe\ Thay đổi theo vị trí của vật, không phụ thuộc vào vận tốc của
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
> Đổ xây dựng mô hình hệ Trường - Môi trường mang điện, cần xác định những thông số biểu diễn và mô tả hệ:
❖ Biến trạng thái'. Đo và biểu diễn trạng thái và quá trình động lực học của hệ hoặc năng lực tương tác của các thành viên trong hệ.
❖ Biến hành vi: Biểu diễn tính quy luật các hoạt động, hành vi của một thực thể trong quá trình tương tác với thực thể khác.
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện
> Biến trạng thái cơ bản của vật mang điện là điện tích q của vật mang điện.
> Đo năng lực tương tác lực (chịu tác dụng lực) của vật với trường điện từ.
Hạt và vật mang điện được chia làm 2 loại:
Hạt mang điện tích âm e = -1,6.1 O'19 (C).
Hạt mang điện tích dương.
Hạt và vật mang điện có điện tích bằng không nếu nó không có khả năng tương tác lực với trường điện từ.
23
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
Biến trạng thái cơ bản của trường điện từ
a. Vector cường độ điện trường E\
Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, đặt tĩnh trong một hệ quy chiếu có quán tính, chịu một lực dFE. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có một điện trường.
Vector trạng thái về cường độ điện trường là biến trạng thái đo và biểu diễn năng lực tác động của lực Lorenx về điện ở lân cận vật mang điện trong trường
điện từ:
dFE = dqE
> Thứ nguyên:
[£] =
\F\_N__Nm_ v_
[ợ] c Cm m
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
Biến trạng thái cơ bản của trường điện từ
b. Vector cường độ từ cảm B:
Xét một vật nhỏ mang điện tích dq, chuyển động trong một hệ quy chiếu có quán tính, chịu một lực dFM. Khi đó ta có thể nói ở lân cận vật mang điện có một từ trường.
Lực dFM hướng theo chiều eF, vuông góc với vận tốc V của hạt mang điện, và vuông góc với một chiều eB xác định trong mỗi điểm trong hệ quy chiếu.
ó/Fm = dq{V X B) = dqvBey X eB
Mặt khác: dqv = dq^ị- = idỉ
dt
Ta có: íZFM = ỈBdley X eB	[T]
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
25
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
Tính tưưng đối của E và B
> Điện trường E và từ trường B là những thể hiện cụ thể của trường điện từ trong một hệ quy chiếu. Trường điện từ được “cảm nhận” thông qua E và B.
> Điện trường E và từ trường B được định nghĩa theo sự chuyển động của hạt mang điện -> chỉ mang tính tương đối.
F-Fe+Fm -ợ(E + vxB)
> Lực Lorenz gồm 2 thành phần:
Không đổi: FE = ợE
Phụ thuộc vào hệ quy chiếu: FM = q(y X B)
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện - Luật Coulomb
> Luật Coulomb là luật về tương tác giữa các hạt mang điện: Độ lớn lực tương
tác giữa 2 hạt mang điện tỷ lệ thuận với điện tích qp q2, và tỉ lệ nghịch với khoảng cách giữa chủng.
80: hằng số điện môi trong chân không
Qj, Q2: điện tích của hạt mang điện
trong đó: k = ——— với £n = -—	- « 8,854.10 12F / m
4^0	0 4?rl 0"7c2
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
27
4. Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện - Luật Coulomb
> Xét 2 điện tích cùng dấu Qj và Q2 trong chân không, có tọa độ xác định bởi vector và r2. Rl2 r; r,
> Lực F2 đặt trên điện tích Q2 có:
Phương: Cùng phương với vector R12 nối 61 giữa Qj và Q2
Origin
R12 = r2 - rl
Hướng: Cùng hướng với vector R12.
F, = 8182
2 12
a12 là vector đơn vị theo hướng vector R12 a R‘; - r^~ri
2 |Rnl lI2_ril
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Các thông số cơ bản của trường điện từ và môi trường mang điện
4. Quan hệ giữa điện tích q và lực tĩnh điện - Luật Coulomb
Ví dụ 1: Cho điện tích Qj = 3.10'4 (C) đặt tại A(l, 2, 3), và điện tích Q2 = -10'4 (C) đặt tại 3(2, 0, 5) trong chân không. Tính lực tác dụng của Qị lên Q2.
F, = Q82
4^0*12
R12 = r2 - rt = (2 - l)aỵ + (0 - 2)ay + (5 - 3)az = aỵ - 2ay + 2az
R,2 = ạ/12 + (-2)2 + 22 = 3
F2 = -10a, + 20ay - 20az(Ar)
...1	2	2
-30Gaz-|a +|az)
3	3	3
F . Q& g . 3.10^(-10^)
2 4^x 12 4^.8,854.10’12.32
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
29
III. Cường độ điện trường của điện tích đỉêm
> Xét điện tích điểm Qị đặt cố định, và điện tích thử Qt đặt trong không gian xung
quanh điện tích Qj -ỳ Qt luôn chịu sự tác dụng của lực tĩnh điện Coulomb
F ; S1Q . h
4*MỈ “
> Cường độ điện trường của một điện tích điểm tạo ra trong chân không:
♦♦♦ Vector lực tác dụng đặt lên một điện tích thử 1C
❖ Thứ nguyên: v/m
❖ Vector:
4^0fl2
R: vector hướng từ điện tích Q đến điểm xét
aR: vector đơn vị của R
Chương 2: Khái niệm cơ bản vê trường điện từ
Cường độ điện trường của điện tích điểm
> Hệ tọa độ cầu:
• • •
Xét điện tích điểm Q đặt tại tâm của hệ tọa độ cầu.
Xét cường độ điện trường tại một điểm trên mặt của cầu bán kính r:
ar: vector đơn vị của hệ tọa độ câu
E = .a
^7ĩ£ữr
Hệ tọa độ descartes:
• • •
Xét cường độ điện trường tại một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y, Z)
Xét điện tích điểm Q đặt tại điểm gốc tọa độ.
__	Q	r-r' _ e(r-r') _ Q
\x - X X + (y - y X + (z - z X ’
~ te0|r-r’|2 |r-r’| te0|r-r’|3 4^0
\x-xÝ+(y-yÝ+(z-zÝ~
3/2
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
Cường độ điện trường của điện tích điểm
Xét 2 điện tích điểm Qj và Q2 trong chân không.
Xét 1 điểm p bất kỳ trong chân không
Do lực Coulomb có tính chất tuyến tính -> cường độ điện trường do 2 điện tích điểm tạo ra:
tejr-rj 4^01 r-r21
> Tổng quát:
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 2: Khái niệm cơ bản về trường điện từ
33
III. Cường độ điện trường của điện tích đỉêm
Ví dụ: Cho Qj = 4.10'9C tại điểmP;(3, -2, 1), Q2 = 3.10'9C tại điểmP2(l, 0, -2), Q3 = 2.10'9C tại điểm P3(ồ, 2, 2), Q4 = 10'9C đặt tại điểm P/-1, 0, 2). Tính cường độ điện trường tại điểm P(l, 1, 1).
E(r) = T	Í2 ai + T	Í2 a2 + T	Í2 a3 + T	ã a4
Trong đó:
4^olr-1ìl 4^0|r-r2|	4^0|r-r3|	4^0|r-r4|
|r-r, |=V(2)2 +32 =3,32
-2 _	3
	a. H	a„
3,32 x 3,32 y
r-^ =(x-x1)ax+(y-y1)a +(z-Zj)az = -2ax+3a -><! r-r, a' =7T7 | ... Ĩ3
_ -30.10~9 2aỵ +3ay
” 2^e07Ĩ3 Jĩĩ
'z 30nC/m
Mặt phẳng dẫn
/
	/ V;
P(2, 5, 0)
X
'z 30nC/m
R
-30nC/m
RX
E = E + E. = -ISO'1^"2 = -249a v/m
+	-	2^0(13)	2	
,	Pg = £nEN = -2,20nC / m
Cơ sở lý thuyêt trường điện từ	° u v
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
159
IV. Bán dẫn > Trong các vật liệu bán dẫn, có 2 hạt mang điện: Electron, và lỗ trổng
Các electron ở vùng hóa trị nhận năng lượng kích thích -> vượt qua vùng cấm để tới vùng dẫn.
Trong các chất bán dẫn, các khoảng trống do electron để lại (lỗ trống) cũng di chuyển (ngược hướng với electron).
> Độ dẫn điện của chất bán dẫn: > Độ dẫn điện của chất bán dẫn tăng khi nhiệt độ tăng (ngược với kim loại)
> Điện dẫn của chất bán dẫn tăng lên đáng kể khi có lẫn tạp chất (n-type, p-type) Cơ sở lý thuyết trường điện từ	160
161
Chương 5: Vật Dẩn - Điện Môi - Điện Dung
V. Chất điện môi
1. Khái niệm
> Các chất điện môi được cấu tạo bởi rất nhiều các phân cực điện đặt trong chân không.
Các phân cực điện không thể phân bố như quá trình dẫn đối với kim loại hay bán dẫn do chúng chịu lực tương tác của nguyên tử và phân tử.
Ở trạng thái bình thường, các phân cực điện sẽ xoay theo các hướng khác nhau.
Khi có tác động của điện trường ngoài, các phân cực điện sẽ sắp xếp lại theo hướng của điện trường, tạo ra trường điện từ tĩnh.
Tính chất: Các chất điện môi đều có khả năng tích lũy năng lượng điện năng.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dẩn - Điện Môi - Điện Dung
V. Chất điện môi	Q
ed
	>
E
> Gọi p là vector momen lưỡng cực điện: p = Qd [Cm]
> Neu vi phân thể tích Av có n lưỡng cực điện p -> momen lưỡng cực điện tổng:
nAv
Ptổng ^jPz
Z-1
❖ Ở trạng thái tự nhiên, các Pi sắp xếp ngẫu nhiên -> ptgng xấp xỉ không.
❖ Neu Pi cùng hướng (chịu tác động điện từ trường ngoài) -> ptgng khá lớn.
> Vector phân cực p cho biết số lượng momen lưỡng cực trên một đơn vị thể tích
Av^o Av
—	* /V > w A« ■ w * Zk ■ w
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
V. Chất điện môi
1. Khái niệm
> Xét vật liệu điện môi có p = 0
Xét một vi phân diện tích /1S chịu tác động của cường độ điện trường E
❖ Mỗi điện tích sẽ dịch chuyển theo hướng /1S một khoảng ¥1 dcosO
Điện tích dương dịch cùng chiều với /1S
Điện tích âm dịch ngược chiều với /1S
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
V. Chất điện môi
Dưới tác động của E, mỗi phân tử điện môi có lưỡng cực điện: p = Qd
1. Khái niệm
> Với mật độ: n phân tử / m3
Số phân tử dịch theo hướng /1S trong một vi phân thể tích:
AQ = nQd cos ỚAS = nQủ • AS ì	A	X T»
p = ổd->p = «ổdj	T
Áp dụng luật Gauss cho một mặt kín: Qtổng = - £0E • ds = Q + Qb
s
s
D = f0E + P
\	
A-D = p(/
> Theo định lý Dive: (j) D • ds = ị V • Ddv
s	V
Q = f Pydv
—	* /V > w A« ■ w * Zk ■ w
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
I BÁCH KHOA
V. Chất điện môi
1. Khái niệm
> Trong vật liệu đẳng hướng, E luôn cùng chiều p, không phụ thuộc hướng của
trường.
Xe: hệ số phân cực điện môi (kp)
❖ Ta có: D = f0E + p = f0E + X^0E = (1 + Ze>0E
Gọi: £r = 1 + X hằng số phân cực điện của vật liệu
Vậy: D = Ó^E = <&’E
với £ = £ữ£r
là hằng số điện môi của vật liệu
> Trong vật liệu dị hướng, E không cùng chiều p
—	— D = £E. + <&’.£. + £Ẽ
X XX X xy y xz z
D = £Ẽ +	+ £,E
p — p p	y yx x w y yz z
c> Or>O p	 	 	 	
D =£E +£ E +£ E z zx X zy y zz z
Cữ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
165
V. Chất điện môi
2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tưởng
> Xét mặt phân cách giữa 2 chất điện môi
Chât điện môi 1
.. ei , Ẹtti
AS	■■ -	‘	1
Ah
N2
Aw Ett2
Chất điện môi 2
£2
'tt2
(biến thiên liên tục)
Dụ] _ £1 (biến thiên không
' 0,2 ~ £2 J
£2^N2
^Nl 
E.„	£.
^N2 C1
> Mật độ dòng điện D: —— = Ettỉ = Ett2 = ——
£ì	£2
> xẻtỉ^ : DmAS—DN2AS = AQ = psAS
D.,	~	Ps=ồ > D. . = rỵ„
^Nì J-^N2 Ps	lyN\ lyN2
(Trên bề mặt chất điện môi không có các điện tích tự do)
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
V. Chất điện môi
2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tưởng
> Xét mặt phân cách giữa 2 chất điện môi có:
Dị lệch với phương pháp tuyến góc ớ;
D2 lệch với phương pháp tuyến góc 02
Dm = Dỵcosỡỵ f -> DÍCOS0Í = D2COS02
DN2 D2cos02
Dtt2 £2 ^l=ASÌnớl
> £2Dỵ sin ớị = £ỵD2 sin 02
Dtt2=D2smO2>
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
167
—w * /V	a
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
V. Chất điện môi
2. Điều kiện bờ của chất điện môi lý tưởng
> Trên mỗi bề mặt của mặt phân cách: D = eE (D
và E luôn cùng hướng)
P
ỡ2=arctg —tgỡỉ
£r
£
2
sin2 Qỵ
2
COS2ỠỈ
NI
Chất điện môi 1
ei
tti
81 > 82
'N2
Chất điện môi 2
e2
tt2
Nhận xét:
❖ Neu biết trường (E, D) của một bên thì có thể tính được bên còn lại.
♦♦♦ Chất điện môi có £ lớn thì D lớn
❖ Chất điện môi có £ nhỏ thì E lớn
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
169
Chương 5: Vật Dẩn - Điện Môi - Điện Dung
V. Chất điện môi
Điều kiện bờ của chất điện môi lý tưởng
Ví dụ: Xét vùng z 0 có chất điện môi 2: e2 = 2- Tính DN1, Dttl, Dttl, DN2, Dtó, D2, 02
Gỉảỉ:
Dn1 = Dlz = 70az ->Dm = lữnCỉm1 ->Dm= DN1 ->DN2 = 70az nC/m2
Dưl = -30az + 50ay nC/m2 _>D„ = ự(-30)2 + 502 =58,3 InCỉm2
2s- = — -»Dtt2=^?s!- = -7-(-30aI+50av) = -18,75az+31,25av nC/m2
e, " E, 3,2V	1 y'	1 y
—> D2 = Dn2 + Dtt2=-/Ẵ,75ax +31,25ay +7ớaz n&m2
Oỵ =arctg—^
Dỉz
vật dẫn M.
Chất điện môi, £
với bề mặt của vật dẫn tại điểm xét.
Điện dung
1. Khái niệm
Xét 2 vật dẫn đặt trong điện môi đồng chất:
VậtdẫnÀf7:+ô yơ = _ơ + ơ = 0
Vật dẫn -2	* *	4
Nhận xét:	H
Be mặt mỗi vật dẫn đóng vai trò như điện tích mặt, và mặt đẳng thế.
Vector cường độ điện trường vuông góc
❖ M2 tích điện dương -> cường độ trường hướng từ M2 sang Mị, và điện thế của mặt Mj dương hơn so với điện thế của mặt M2
> Định nghĩa: Điện dung c giữa hệ hai vật dẫn có giá trị bằng tỉ sổ điện tích của vật dẫn với hiệu điện thế giữa hai vật dẫn đó.
VO: hiệu điện thế giữa 2 vật dẫn M7 và MJ
72	170
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
s
❖ Hiệu điện thế vo là công sinh ra để di chuyển điện tích thử từ M2 sang Mị
vật dẫn M2
Chất điện
Điện dung
1. Khái niệm > Tổng quát:
❖ Điện tích Q được tích cho toàn bộ mặt kín của vật mang điện Mp
+
^E-í/S
> Vậy: c = 	
Giá trị điện dung phụ thuộc vào kích thước vật lý của hệ vật dẫn và phụ thuộc vào hằng số điện môi của chất điện môi.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
171
VI. Điện dung
1. Khái niệm
> Xét 2 mặt dẫn phẳng, rộng vô hạn, đặt song
mặt dẫn, -ps
song, cách nhau 1 khoảng d
❖ Mặt trên có mật độ điện tích mặt +ps
mặt dẫn, +ps
❖ Mặt dưới có mật độ điện tích mặt -ps
> Cường độ trường giữa 2 mặt dẫn:
E = ^a7^D = Aaz
£
e: hằng số điện môi của chất điện môi giữa 2 mặt phang dẫn điện
> Hiệu điện thế giữa 2 mặt dẫn điện:
= - J E-í/L = -jdz = d
trên	d £	£
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
Điện dung
mặt dẫn, -ps
1. Khái niệm
mặt dẫn, +ps
> Thực tế: Xét 2 mặt phẳng dẫn điện có độ rộng hữu hạn, có diện tích s lớn hơn nhiều khoảng cách d giữa chúng.
> Vậy điện dung giữa 2 mặt phẳng dẫn điện là: 'c=Q=ẹs' . Vọ d_ ,
> Năng lượng:
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
173
VI. Điện dung
2. Một số bài toán tính điện dung
> Cáp đồng trục, dài L\
♦♦♦ Lõi bán kính a
❖ Vỏ bán kính b
^=^-111- ì 2718 a I —> Q=Pll I
> Tụ cầu đồng tâm:
❖ Mặt cầu trong, bán kính a
C=Q = 2ĩieL
	a.
❖ Mặt cầu ngoài, bán kính b
V =^e_ri_ịì
ab ^7ĩ£\a by
r_ Q _ 4^g
=l_ị 	a b ;
174
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
diện tích s
2
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Giả thiết vo là điện thế giữa 2 mặt dẫn
s2
Sj
^1
VI. Điện dung	~
2. Một số bài toán tính điện dung Mạt đan
> Xét 2 mặt dẫn song song, diện tích s,
cách nhau d (d« S), tích điện Q
❖ Hiệu điện thế giữa 2 mặt dẫn:
r0 rl 1 r2	1 ^2^2
Tại mặt phân cách giữa 2 điện môi, vector dịch chuyển điện D theo phương pháp tuyến: Dm = DN2
*2
Sj d
dỵ d
£^s
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
VI. Điện dung	~
2. Một số bài toán tính điện dung Mạt dan
> Xét trường hợp, mặt phân cách của 2 chất điện môi theo phương pháp tuyến với mặt dẫn
Điện dung c được tính theo công thức:
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
P(x,y,O)
VI. Điện dung
2. Một số bài toán tính điện dung
> Xét 2 dẫn dẫn thằng dài vô hạn, đặt song (-a. 0,0)^ song với nhau trong không gian
Điện thế điểm P(x, y, 0)
X
(a, 0, 0)
-Pl
27T£ Rị 2tĩ£ R2 2tĩ£ R^Rỵ
Chọn R01 Rq2
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
(x - a)2 + y2	4k£
In
—w * /V	a
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
177
Điện dung	AJ'
Một số bài toán tính điện dung
y = Pl |n (x + a)2 + y2
(x-àỶ+y1
> Giả sử Vị là mặt đẳng thế, đặt: /Cj = e pL
K =	= (x + àý+y2
1	(x-a)2+y2
7	R-ì +1	7	7
->x -2ax 2 " + y +a =0 x-a ^-1 y t
> Nhận xét:
Mặt đẳng thế V = Vị không phụ thuộc vào z -ỳ Vị có dạng một mặt trụ
Giao giữa mặt Vj với mặt xOy là đường tròn:
Bánkính: b= 1
Kx-l
178
Tọa độ tâm:j = 0 ; h = a^
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
Điện dung
Một số bài toán tính điện dung
> Nhận xét:
❖ Giao giữa mặt Vj với mặt xOy là đường tròn:
Bán kính: b =
K,-ỉ
Tọađộtâm:y = o ;
Kx-\
a = yỊh2-b2
h + ^h2-b2
b
AíỉsVi
Kị=e PL
ln^
Biết h, b, Vj xác định được a, pL
_ plL _ ẠĩtsL _ 2ĩĩsL
mặtphđng’ trụ-y-- - h+rh2_b2
In	.	
IĩĩsL
cosh-1 y b
L chiều dài của trụ tròn theo phương z
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
—w * /V	a
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
179
b
2A = ln—- b
Điện dung
Một số bài toán tính điện dung
_ plL _ AksL _ IĩĩsL _ IĩĩsL
-	- h + ^h2_b2 - h
b	b
> NếuZ>
h + \ỉh2-b2 ,
	-2	 ln
b
-^c =c - 17r£L
mặt phẳng, trụ	mặt phẳng, dây	2/2
Iny
> Tổng quát, ta có công thức tính điện dung giữa 2 dây dẫn thẳng đặt song song:
,	_ ĩisL
'dây, dẩy ~	2/ị
ln^-
b
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
VI. Điện dung
2. Một số bài toán tính điện dung
Ví dụ 1: Cho đường tròn có tọa độ tâm X = 13, y = 0, bán kính b = 5 là giao của mặt xOy với mặt trụ đắng thếv=ioov.
a. Tìm vị trí, độ lớn của điện tích đường tương đương a = \Ịh2 -b2 = V132-52 = 12m
/, +	= 13 + 12 =	=25
v 1 b	5	1
4ĩĩsVỵ 4^.8,854.1012.100
P, = ' „ =	7—rr	
In A",	ln25
= 3,46nC / m
b. Tính điện dung giữa mặt đăng thê v= 0 và điện tích đường tương đương.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
,	_ lĩĩ£
'mặt phẳng, trụ	Ị-
cosh-1 Y b
2^-.8,854.10 12	_
=	 . ~— = 34,6pF / m
cos Ã-1 —
5
—w * /V	a
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
181
VI. Điện dung
2. Một số bài toán tính điện dung
c. Biết mặt đẳng thế Vj= 50V của điện tích đường. Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao giữa mặt trụ đắng thế với mặt phang xOy
AỉtsVị 4^.8,854.10~12.50
Kỉ=e^ =e 3>46-10’9	= 5
è=2^Ẹ=2^ =
Kỵ-X 5-1
Tâm {18; 0), bán kính 13, 42;
V=50
h = a _	= 12--—^ = ISm
K,-l 5-1
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
VII. Phương pháp đường sức - đẳng thế
> Các kết quả đã chứng minh:
❖ Mặt dẫn là một mặt đẳng thế
❖ Vector cường độ điện trường E và vector mật độ dịch chuyển điện D luôn vuông góc với mặt đẳng thế.
❖ Vector cường độ điện trường E và vector mật độ dịch chuyển điện D vuông mặt dẫn phân cách và có thành phần tiếp tuyến bằng không.
❖ Các đường sức {biểu diễn dòng điện dịch) luôn bắt đầu và kết thúc trên 1 điện tích, do đó đối với các chất điện môi đồng chất (không có các điện tích tự do), các đường sức sẽ bắt đầu và kết thục trên các mặt dẫn phân cách.
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
VII. Phương pháp đường sức - đẳng thế
183
> Giả thiết, tổng đường sức trong ống AB là: A ¥
Coi ALtt là chiều ngang từ A đến B của ống AB
Độ sâu của ống AB là Im
Cường độ điện trường E tại điểm giữa của ống AB được tính theo công thức
Mặt dẫn biên
8 ALtt
♦	Z.A. 17 AV Ă V- hiệu điện thế giữa 2 mặt đẳng thế kề nhau
V Mạt Khac, ta co: E =	 , r ,
ALV ALn : khoảng cách 2 mặt đẳng thế kề nhau
❖ Do các mặt đẳng thế rất gần nhau (A V nhỏ) và khoảng cách giữa 2 đường
sức nhỏ (A ¥ nhỏ)
1 \y/ _ \v
s
s=const,w=const
ỈSy/=const
1 A ự/
= const =	__
8 AK
185
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
Phương pháp đường sức - đẳng thế
A£„	'	1 A ự/ .
= const = —-J- = 1
aln £ ÁV
Tỷ số trên sẽ luôn không đổi:
Trong khoảng cách giữa 2 đường sức dọc theo
một mặt đẳng thế
Trong khoảng giữa các mặt đẳng thế dọc theo
một đường sức.
Đơn giản, chọn: ALtt = ALN
Điện dung c giữa 2 mặt dẫn:
Q Nq\Q NqA y/	Nq: số các ống sức nối 2 mặt dẫn
~ VQ~ NyỉsV ~ NyỉsV	Nv: các bước điện thế giữa 2 mặt dẫn
r ttQ
Ny ALn	Ny
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
VIII. Phương pháp lưới
Xét trường thế: v= V(x,y)
Trường thế phân bố đều trên mặt lưới kích thước h
Không gian chứa chất điện môi đồng chất.
Tacó: V-D = o ; V-E = o
9 + 9 — 0 ổx2 ổy2
ÕV
dv
a	h
v d2V
c h -
d2V
,2
^ = 0
dx
E=_ệỳ
Ey A,
ÕV
ÕV
ỵ2
bị
Ỵo	1
Vi
' v3 h
c
u
t h >
k
1
0 r 0 ' r 3
h1
2 r0 r0 ' r4
7.2
Chương 5: Vật Dan - Điện Môi - Điên Dung
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
BẠI HỌC
BÁCH KHOA
Phương pháp lưới
> Xét một miền giới hạn bởi các mặt dẫn đẳng thế: Mặt trên có V = 100V, 3 mặt còn lại V = 0
❖ Chia thành 16 ô vuông bằng nhau.	®
43,8
53,2
43,8
18,8
25
18,8
6,2
9,4
6,2
v= 100V
'ữ
Bước 1
v= 0
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
—y	■ w * /V	■ W * Jk
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
VIII. Phương pháp lưới
187
^o=^(^+K+K+K)
4(100 + 53,2 + 18,8 + 0) = 43
14	J
1(43 + 43 + 25 + 100) = 52,8
k_4	,
1
^(43 + 25 + 0 + 6,2) = 18,6
4(18,6 + 52,8 + 18,6 + 9,4) = 24,9
43
43,8,
52,8 ,53,2 ,
43 ,43,8
18,6
18,8ì
24,9 t25
18,6 Ĩ-.
,18,8
7 ố,2
9,8
19,4	1
7
!ố’2
v=o
Bước 2
Ị1Z1 o z n n	ì
4(18,6 + 9,4 + 0 + 0) = 7
14	)
1(7 + 24,9 + 7 + 0) = 9,8
4
-^-(100 + 0 + 0 + 0) = 25
Chương 5: Vật Dan - Điện Moi - Điện Dung
VIII. Phương pháp lưới
4 (42,9 + 42,9 + 24,9+100) = 52,7
Lể	__	.
42,9
43
l	<
52.7
52.8
ị 531 1
42,9
43
18,7
18,6
25 ,24,9
75,7
,18,6
18,8
7,1
>
25
1 9,8
18,8
.7,1
ĩ
6,2
’ 9,8 '
9,4
v= 100V
Bước 3
4(42,9 + 24,9 + 7 + 0) = 18,7
4
4(18,7+9,8 + 0+0) = 7,1
<4	,
4(18,7 + 52,7 + 18,7 + 9,8) = 25
4
4(7,1+25 + 7,1 + 0) = 9,8
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
—w * /V	a
Chương 5: Vật Dân - Điện Môi - Điện Dung
189
Sự tương đồng giữa chất điện môi và vật dẫn
Vật dẫn
Chất điện môi
J=ctE„
D = đ^
e„=-vp;
Es = -vi;
To be continued ...
191
Cơ sở lý thuyết trường điện từ
I.	Dịch chuyển điện
Sự dịch chuyển điện lự diễn ra trên toàn bộ diện tích bề mặt của quả cầu: Sa = ^TĩữI. 2 (zn2)
Để đặc trưng cho khả năng dịch chuyển điện của một bề mặt, người đưa ra khái niệm vector mật độ dịch chuyển điện D [C/m2]:
II. Luật Gauss
ứng dụng của luật Gauss
Vỉ dụ 7: Trong chân không biết: D = 8xyz4ax + 4x2z4ay + 1ÓX2 yz3 a z(pC / m2)
Tìm thông lượng qua hộp chữ nhật: z = 2,0<x<2, 1 < y < 3 theo hướng az.
Tính E tại P(2, -1,3)
Tính tổng điện tích của quả cầu có thể tích 10'II. 12m3 đặt tại P(2, -1, 3).
Giải:
I.	Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường
Ví dụ: Xét không gian có E = -y í 8xyzax + 4xI. 2 * * * * * *zay - 4x2yaz ) V / m. Tính vi phân công
z
để dịch chuyển một điện tích 6nC đi quãng đường dài 2pm từ điểm P(2, -2, 3) theo
, ’ _	6’3’2
hướng: az = -ỹax + yay +yaz
Giải:
Ep --^-[sxyzax +4x2zay -4x2yaz)	= -10,67ax + 5,33ay + 3,56azK / m