Bài giảng Cơ học lượng tử nâng cao - Chương 3: Ma trận thống kê lượng tử

Chương 3: 
Ma trận thống kê lượng tử 
KE 
3.1 – Mở đầu 
Trong bài toán thống kê lượng tử, hệ được xem như vô số các hạt lượng tử. 
Trạng thái vi mô của hệ xem là trạng thái của các hạt lượng tử mô tả bởi các hàm sóng. 
Các hàm sóng và các 
 mức năng lượng của hệ 
được xác định bằng cách 
 giải phương trình Schrodinger. 
3.1 – Mở đầu 
Nói chung các mức năng lượng của hệ lượng tử là gián đoạn. 
Tuy nhiên đối với hệ vĩ mô, số lượng các mức năng lượng là vô cùng lớn, nên sự phân bố các mức trên phổ năng lượng là gần như liên tục nhau (dày đặc) Khoảng cách 2 vạch kề nhau là rất bé 
Vì thế năng lượng của bất kỳ một loại tương tác nào đó đều lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách của hai mức năng lượng liên tiếp 
Trung bình thống kê lượng tử 
Thực tế, hệ vĩ mô không thể ở một trạng thái dừng hoàn toàn tức là không thể mô tả trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng một hàm sóng được. 
Như vậy, tại một thời điểm xác định, trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử có thể được mô tả bằng rất nhiều hàm sóng khác nhau ứng với nhiều trạng thái lượng tử khác nhau . 
Việc tính trung bình đại lượng được thực hiện trên các trạng thái vi mô xác định bởi các hàm sóng thông qua một đại lượng trung gian là ma trận thống kê. 
GiBBS: Tính trung bình theo thời gian được tính bằng trung bình qua toàn bộ các hàm riêng theo biến không gian (tương ứng các trạng thái vi mô của hệ lượng tử) dựa trên ma trận thống kê 
Trung bình thống kê lượng tử 
Xem các loa phát âm liên tiếp nhau 
bằng các trạng thái lượng tử 
3.1 – Tính trị trung bình 
Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng  (q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ. Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức: 
Vì có nhiều hàm sóng  (q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng : 
Bài tập 3.1 
Tính trị trung bình của toán tử toạ độ x 
Trong bài toán electron ở giếng thế sâu vô hạn có độ rộng a. Hàm sóng mô tả trạng thái electron là : 
3.1 – Mở đầu 
Toán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao n và các trị riêng l n thỏa biểu thức: 
(Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc t) 
Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng: 
3.2 – Trung bình thống kê 
Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng thái riêng. Khai triển hàm  (q,t) theo các hàm n (q) trong L 
Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau : 
Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP: 
3.3 – Ma trận thống kê 
Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là: 
Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là 
Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là: 
Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F: 
Bài tập 3.2 
Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát: 
Xác định các thành phần của ma trận thống kê 3x3 
Theo công thức: 
Kết quả 
3.4 – Phần tử ma trận 
Tập hợp n các giá trị (3.8) cũng tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận F trong L (và ma trận nghịch đảo của F): 
Từ 2 ma trận 3.11 và 3.12 nếu nhân 2 ma trận đó và sau đó lấy Tổng các TP đường chéo của MT tích thì nó = biểu thức trung bình của F: 
Ký hiệu SP của ma trận X là lấy 
tổng của các phần tử nằm trên 
đường chéo của ma trận X 
Bài tập 3.3 
Tính SP của ma trận X với: 
Với giá trị m bằng bao nhiêu thì SP (X) có giá trị đơn vị (được chuẩn hóa) 
Đáp án là : 
Bài tập 3.4 
Cho: 
Tính: 
Matrix of Statistics 
Bài tập 3.5 
Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát: 
Xác định các thành phần của ma trận của toán tử toạ độ 3x3. Theo công thức: 
Bài tập 3.6 
Trở lại bài tập 3.2 và 3.5 
Xác định các thành phần của ma trận của toán tử xung lượng theo phương x(3x3). Theo công thức: 
Xác định giá trị trung bình của xung lượng theo ma trận thống kê: 
Hướng dẫn (1) 
Kết quả MT thống kê: 
Hướng dẫn (2) 
Tính giá trị Trung bình của toán tử P x 
3.5 – Tính chất ma trận thống kê 
1-Các số hạng trên đường chéo trong ma trận thống kê luôn dương : 
2. Tính chuẩn hóa: Tổng số hạng trên đường chéo bằng một 
3. Vì C là hàm theo biến t nên Ma trận thống kê phụ thuộc thời gian 
 Chứng minh: Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta được: 
Theo tính chuẩn hoá lấy trung bình tổng và vì các số hạng dương: 
Bài tập 3.7 
Xét bài tập giếng thế: 
Kiểm chứng các tính chất : 
Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương 
Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1 
Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc thời gian 
Xét bài tập giếng thế: 
Kiểm chứng các tính chất : 
Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương 
Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1 
Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc thời gian 
Xét bài tập giếng thế: 
Kiểm chứng các tính chất : 
Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương 
Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1 
Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc thời gian 
3.6 – Phương trình Liouville 
Trong đó Ma trận của toán tử Hamilton thỏa pt Schrodinger là: 
Nhân 2 vế 3.20 theo phía trái cho L * lấy tích phân theo q và dùng ĐKCH ta tính vế trái và phải : 
Dạng phương trình 
Thay nghiệm  là tổ hợp của các 
Photo of Liouville 
Áp dụng cho chùm Laser 
Bài tập 3.8 Đạo hàm của ma trận 
Lấy đạo hàm của tất cả các phân tử 
Thí dụ : tính đạo hàm Z theo t của ma trận: 
Bài tập 3.9 
Tính tổng đường chéo của ma trận là đạo hàm theo t của ma trận Z: SP {dZ/dt} 
3.6 – CM.Phương trình Liouville 
Để chứng minh tính đạo hàm theo t của 1 phần tử ma trận: 
Thay 3.21 và 3.22 vào vế phải của 3.23 
 tính vế trái: 
Thay dấu tổng và đưa ra: 
3.6 – CM.Phương trình Liouville 
Đưa dấu tổng ra: 
Viết cho cả ma trận thống kê ta có PT Liouville lượng tử dạng: 
Bài tập 3.10 
Xét bài tập giếng thế: 
Viết phương trình Louville cho phần tử ma trận thống kê  12 và  21 
3.7 – Áp dụng PT Liouville 
Ở trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t 
Về hình thức, 
Bài tập 3.11 
Cho các hàm sóng 
 ( 0 x a) 
Tính ma trận thống kê?: 
Viết tường minh phương trình Liouville (Hint)