Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 4: Động lực học lưu chất

CH ƯƠ NG 4: ĐỘNG LỰC HỌC L Ư U CHẤT 
I. Ph ươ ng trình vi phân chuyển đ ộng của l ư u chất 
II. Tích phân ph ươ ng trình Euler 
III. Ph ươ ng trình n ă ng l ư ợng 
IV. Phương trình Bernoulli cho dòng chảy l ư u chất thực. 
V. Phương trình biến thiên đ ộng l ư ợng. 
 L ư u chất lý t ư ởng : =0 =0 
	 khái niệm áp suất : 
 Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên ph ươ ng x: 
+ Lực khối: 
+ Lực mặt: 
x 
z 
y 
dx 
dy 
dz 
p, 
Hệ số nhớt : ; Ứng suất ; thành phần của tenxơ áp suất  ii 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
 Ph ươ ng trình Định luật II Newton trên ph ươ ng x cho phần tử: 
 T ươ ng tự: 
x 
z 
y 
dx 
dy 
dz 
p, 
Hay 
gọi phương trình Ơle 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
 Phương trình Ơle Biểu diễn dưới dạng tọa độ Đêcác 
 Từ biểu thức (4.2) ta suy ra dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler 
 Sau khi sắp xếp trên phương x ta được 
 Tương tự cho phương y và phương z, cuối cùng ta có dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
 với  là vận tốc góc của phần tử: 
 Phương trình Euler d ạng Lamb-Gromeco viết dưới dạng khác: 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
 Phương trình Euler d ạng Lamb-Gromeco viết dưới dạng hình chiếu: 
I. Ph ươ ng trình vi phân cho chất lỏng lý tưởng chuyển đ ộng (phương trình Euler) 
Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco: 
II. Tích phân ph ươ ng trình chuyển đ ộng của l ư u chất 
Giả thiết: 
Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco trở thành: 
1). Trường hợp chuyển động có thế: 
Phương trình Euler dạng Lamb-Gromeco trở thành: 
Trong trường trọng lực U=-gz, ta có: 
II. Tích phân ph ươ ng trình chuyển đ ộng của l ư u chất 
Đối với chuyển động ổn định ta được: 
2). Trường hợp dòng chảy ổn định 
a).Tích phân dọc đường dòng , lấy vi phân chiều dài đường dòng nhân vô hướng với phương trình Euler ta có: 
s 
R 
O 
 Phương trình Bernoulli 
Ta rút ra: 
II. Tích phân ph ươ ng trình chuyển đ ộng của l ư u chất 
s 
R 
O 
Trong trường trọng lực U=-gz, ta có: 
 Phương trình Bernoulli 
b).Tích phân theo phương vuông góc với đường dòng , phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên có dạng: 
Lấy vi phân chiều dài đư ờng pháp tuyến với đư ờng dòng nhân vô h ư ớng nó với pt. Euler ta được: 
Ta có: 
II. Tích phân ph ươ ng trình chuyển đ ộng của l ư u chất 
s 
R 
O 
Trong trường trọng lực U=-gz , ta có: 
Khi R ∞ : 
1).Trường hợp chuyển động có thế nên p.tr Bernouli áp dụng cho 2 điểm bất kì A và B được viết 
2).Trường hợp chuyển động ổn định: C là hằng số trên đường dòng 
Chú ý: 
Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli: 
 	 là thế năng của một đơn vị trọng lượng chất lưu (bao gồm vị năng đơn vị z và áp năng đơn vị p/  ). 
 	 là động năng của một đơn vị trọng lượng chất lưu 
II. Tích phân ph ươ ng trình chuyển đ ộng của l ư u chất 
L ư u chất thực:  0  0 
Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên ph ươ ng x: 
+ Lực khối : 
+ Lực mặt: 
x 
z 
dx 
dy 
dz 
 zx 
 yx 
III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động 
 (Phương trình Navier-Stokes ) 
 Ph ươ ng trình Định luật II Newton trên ph ươ ng x cho phần tử: 
x 
z 
dx 
dy 
dz 
 zx 
 yx 
 với 
Ta có phương trình Navier-Stokes trên trục x 
 Giaû thieát Stokes: 
III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động 
 (Phương trình Navier-Stokes ) 
Ta có 
 Đối với l ư u chất không nén đư ợc: 
 Lưu ý gia t ơ ́c được tính 
 Tổng quát: Döôùi daïng vector: 
III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động 
 (Phương trình Navier-Stokes ) 
 Biểu diễn (4.9) dưới dạng hình chiếu, ta có: 
III. Phương trình vi phân cho chất lỏng thực chuyển động 
 (Phương trình Navier-Stokes ) 
 Tích phân ph ươ ng trình Navier-Stokes cho toàn dòng chảy, ta đư ợc ph ươ ng trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực không nén đư ợc chuyển đ ộng ổn đ ịnh. Đây là một dạng của ph ươ ng trình n ă ng l ư ợng. 
 Áp dụng định luật bảo tồn năng lượng hay định luật thứ nhất của nhiệt động lực học: Tốc độ biến thiên của động năng và nội năng bằng tổng c ơ ng cơ học của ngoại lực và các dịng năng lượng khác trên 1 đơn vị thời gian. 
 IV. Phương trình năng lượng  
 IV. Phương trình năng lượng  
1). Phương trình năng lượng cho dòng chất lỏng không ổn định có khối lượng riêng thay đổi có dạng: 	 	 
 Với Q là nhiệt trao đổi của thể tích kiểm soát w với môi trường, W là năng lượng của thể tích w có mặt bao bọc S, e u là nội năng đơn vị của thể tích chất lưu w. 
2). Dòng ổn định, không trao đổi nhiệt với môi trường 
 IV. Phương trình năng lượng  
Đối với trường hợp này: dQ = 0 và = const, phương trình (4.11) thành: 
Chú ý rằng Z = z + p/  , phương trình trên thành: 
chính là phần biến đổi 
năng lượng do chuyển động của các ptử bên trong khối chất lưu gây ra và do ma sát của khối chất lưu với bên ngoài. 
Ta thấy: 
 IV. Phương trình năng lượng  
Nó chính là năng lượng bị mất đi của chất lưu qua thể tích w trong một đơn vị thời gian, h f là năng lượng mất mát trung bình trong một đơn vị thời gian của một đơn vị trọng lượng chất lưu. 
Đặt 
Từ đó: 
 Xét một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại mặt cắt 2-2 ( = const): 
Ta lần lượt tính các tích phân. 
 IV. Phương trình năng lượng  
Nếu trên mặt cắt ướt S, áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh thì: 
Tích phân thành phần động năng: 
Đưa vào hệ số điều chỉnh động năng : đối với chất lưu chảy tầng thì tầng = 2; đối với chất lưu chảy rối thì rối = 1,05  1,1; ta có : 
 = động năng thật 
Từ đó: 
 IV. Phương trình năng lượng  
(4.12) là ph ư ơng trình năng lượng (phương trình Becnuli) cho toàn dòng chảy ổn định đối với chất lỏng thực không nén được nằm trong trường trọng lực từ mặt cắt 1 tới mặt cắt 2 (không có nhập hoặc tách dòng chất lưu). 
Hay 
 Xét dòng chảy có nhập hoặc tách lưu ( = const): 
Phương trình (4.12) thành: 
với  H f là tổng năng lượng dòng chảy bị mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra (trong 1 đ.vị thời gian). 
 IV. Phương trình năng lượng  
3). dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài 
Dòng chảy được bơm cung cấp năng lượng H b hay dòng chảy cung cấp năng lượng H t cho turbine, thì phương trình Becnuli có dạng tổng quát hơn: 
Trong đó: H B là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vị trọng lượng dòng chảy khi dòng chảy qua bơm gọi là cột áp bơm . 
H T là năng lượng mà một đơn vị trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi qua turbine. 
4). Ứng dụng của phương trình năng lượng 
 IV. Phương trình năng lượng  
Áp dụng phương trình Bernoulli trên đường dòng từ A tới B (hình vẽ), bỏ qua mất mát năng lượng, ta có: 
Do u B = 0 nên: 
Trong đó:  k là trọng lượng riêng của chất khí;  l là trọng lượng riêng chất lỏng. 
Ví dụ 1: Đol ư u tốc đ iểm của dòng khí bằng ống Pito vòng 
Áp dụng phương trình thuỷ tĩnh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường khí), A’B’ (trong môi trường lỏng) và BB’ (trong môi trường khí) ta có: 
Từ đó: 
và 
Từ (1) và (2) ta suy ra: 
Thực tế do mất năng lượng nên vận tốc thực tại điểm A lớn hơn vận tốc tính từ công thức bên 
 Cấu tạo của ống Ventury biểu diễn như hình vẽ. Chất lỏng chảy cần đo lưu lượng có khối lượng riêng 1 , chất lỏng trong ống chữ U có khối lượng riêng 2 ; trọng lượng riêng tương ứng của chúng là  1 và  2 . 
 Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống Ventury  
Khi đo dòng chảy, hiệu độ cao của chất lỏng chảy trong ống chữ U là h. 
Xét hai mặt cắt có diện tích ướt là S 1 và S 2 tương ứng với hai vị trí ống có đường kính là D 1 và D 2 . 
 Áp dụng phương trình năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt S 1 đến mặt cắt S 2 (bỏ qua mất mát năng lượng), ta có: 
 Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống Ventury  
Chất lỏng chảy trong ống Ventury là chảy rối, nên α 1 ,α 2  1, chú ý rằng lưu lượng Q = SV, do đó: 
 Từ đó, ta có: 
 Ví dụ 2: Đo lưu lượng bằng ống Ventury  
Chú ý: 
 Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng. 
Thực tế lưu lượng Q thực nhỏ hơn , nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi tính Q tính . Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Q thực = C.Q tính 
với C < 1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury (do mất năng lượng sinh ra). 
Ví dụ 3: Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng 
Xét một bình rộng đựng chất lỏng, gần đáy bình có một vòi chảy có cấu tạo dạng ống co thắt như hình vẽ. 
Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ yếu bị mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với V c 2 tại mặt cắt co hẹp c-c. 
Áp dụng ph ư ơng trình năng lượng cho trường hợp này, ta có: 
Ví dụ 3: Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng 
Do đó có thể viết: 
Do bình rộng nên V o 0 và áp suất trên mặt thoáng p o = 0, từ đó: 
Với 
gọi là hệ số lưu tốc 
Ta có: 
Trong đó: S là diện tích lỗ tháo,  là hệ số co hẹp, C d < C v là hệ số lưu lượng. 
Ví dụ 4: Dòng chảy không ổn định ra ngoài bình 
Xét một bình đựng chất lỏng chiều cao H, tiết diện S; ở đáy bình có một lỗ tiết diện a cho chất lỏng chảy ra ngoài (hình vẽ). 
Tại thời điểm t, lưu lượng chất lỏng chảy qua lỗ được cho bởi biểu thức: 
Ta suy ra: 
Thời gian để nước trong bình chảy hết là: 	 
Độ cao chất lỏng trong bình giảm theo thời gian. Sau thời gian dt, chất lỏng trong bình giảm một lượng: 
V. Phương trình động lượng 
Dạng tổng quát của phương trình động lượng (chứng minh từ ch ươ ng động học): 
 Đối với dòng ổn định: 
 Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định (vào ở dS 1 ; ra ở dS 2 ), ta có: 
V. Phương trình động lượng 
 Đối với toàn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, chiếu phương trình động lượng lên một phương s bất kỳ, rồi sau đó lấy tích phân trên từng mặt cắt S 1 , S 2 ta được: 
Ta thấy rằng động lượng thực của dòng chảy lớn hơn động lượng tính theo các số hạng vế trái của biểu thức (4.18), do đó người ta đưa vào hệ số hiệu chỉnh động lượng α o . 
Thực nghiệm tìm được α o (chảy tầng) = 4/3; α o (chảy rối) = 1,02  1,05. 
V. Phương trình động lượng 
 Như vậy phương trình động lượng chiếu trên một phương s bất kỳ, đối với toàn dòng chảy ổn định và chất lưu không nén được, đi vào mặt cắt 1 và đi ra ở mặt cắt 2 được viết dưới dạng: 
Nếu dòng chảy có nhiều mặt cắt ra và mặt cắt vào thì: 
= ĐL ra/S = ĐL vào/S 
=  ĐL ra/S =  ĐL vào/S 
 Áp dụng của phương trình động lượng 
Phân tích ngoại lực, thông thường gồm các lực sau: 
+ Trọng lực G 
+ Lực ma sát F ms giữa chất lỏng với thành rắn. 
+ Phản lực N từ thành rắn tác dụng vào khối chất lưu. 
+ Áp lực F i từ các phía tác dụng vào các mặt cắt đối với dòng chảy ra hoặc vào khối thể tích kiểm soát (tính như áp lực thuỷ tĩnh). 
= ĐL ra/S = ĐL vào/S 
 Áp dụng của phương trình động lượng 
+ Hai lực ma sát F ms và phản lực N thường gộp chung thành một lực R gọi là lực của thành rắn tác dụng vào khối chất lưu. 
+ Lực trọng trường G bị triệt tiêu khi chiếu lên phương nằm ngang (vì G theo phương thẳng đứng), hoặc giả thiết nhỏ nên không tính tới (trừ trường hợp có giá trị lớn đáng kể và khi chiếu phương trình động lượng lên phương thẳng đứng). 
Ví dụ 1: Lực của tia nước tác dụng trên một tấm phẳng nghiêng 
Cho một vòi có tiết diện S, phun nước với vận tốc v vào một tấm phẳng đặt nghiêng 1 góc so với phương nằm ngang. Bỏ qua ma sát và tác dụng của không khí (hình vẽ), xét các trường hợp: 
a) Tấm phẳng đứng yên (u = 0), tính lực F tác dụng lên tấm phẳng và các lưu lượng Q 2 , Q 3. 
b) Nếu tấm phẳng di chuyển với vận tốc u , tính lực F td lên tấm phẳng và phản lực N của tấm phẳng . 
Hướng dẫn giải 
a). Tấm phẳng đứng yên (u = 0), 
Lấy thể tích kiểm soát như trên hình vẽ. Ngoại lực gồm: 
+ Trọng lượng nước trong thể tích kiểm soát 
+ Phản lực của tấm phẳng: 
Hay 
Phương trình động lượng cho thể tích kiểm soát là: 
Chiếu (1) lên phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng ta được: 
Hướng dẫn giải 
Với: Q 1 = V 1 .S ,  1 =1 
Chiếu (1) lên phương song song với mặt phẳng nghiêng ta được : 0 = Q 2  2 V 2 - Q 3  3 V 3 - Q 1  1 V 1 cos 
Từ (3) và (4): Q 2 = Q 1 (1 + cos )/2 ; Q 3 = Q 1 (1 – cos )/2 	 
Suy ra: 0 = Q 2 – Q 3 – Q 1 cos (3) 
Phương trình liên tục cho: Q 1 = Q 2 + Q 3 	 (4) 
b) Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vòi chuyển động giật lùi với vận tốc u, điều này cũng có nghĩa là nước chuyển động đến tấm phẳng với vận tốc V 1 = V - u. 
Thay vào (2) ta được: F = .S.(V – u) 2 sin 	 	 
Ví dụ 2: Lực của dòng nước tác dụng lên một vòi phun 
Áp dụng phương trình động lượng cho thể tích kiểm soát như hình vẽ. 
Chọn 0 =1 
Thành phần lực tác dụng lên thể tích kiểm soát theo phương x: 
F 1 = p 1 S 1 ; F 2 = 0 (do nước bắt đầu ra khỏi vòi phun không còn chịu áp lực). 
Áp dụng phương tình năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2: 
Nh ư vậy lực F của l ư u chất tác dụng vào vòi h ư ớng tới và bằng R. 	 
Bài tập tự giải 
Một đoạn ống thu hẹp nằm trong mặt phẳng thẳng đứng nối hai ống: ống lớn có tiết diện 0,5x0,4 (m 2 ) với vận tốc trung bình của nước là v 0 , ống thứ 2 có tiết diện 0,5x0,2 (m 2 ). Tại các mặt cắt AA và BB đặt các ống đo áp và áp kế (hình vẽ). Xác định độ chênh áp p nếu cho biết vận tốc tại A là 0,7v 0 còn ở B là 2,3v 0 , lưu lượng qua ống là Q=600lít/s, khoảng cách giữa 2 mặt cắt là 0,12m, trong hai trường hợp: 
a). Tổn thất trong ống là h wAB = 0. 
b) Tổn thất trong ống là h wAB = 0,1m. Cho g=10m/s 2; 1 = 2 =1;  =9,81.10 3 N/m 3 . 
Bài tập 1 
 Một chiếc xe đang chạy lấy nước từ một cái mương nhỏ bằng một ống có đường kính 10 cm và đưa nước lên độ cao H = 3 m. Tốc độ của xe là V= 65 km/h. 
Bài tập 2 
1). Tính tốc độ tối đa và lưu lượng nước chảy ra khỏi ống. Có nhận xét gì về độ sâu đặt ống h. 
2). H phải lớn hơn bao nhiêu để nước không chạy ra khỏi ống?