Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 3: Động học chất lưu

CH ƯƠ NG III: ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU 
 I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất. 
II. Một số khái niệm thường dùng 
III . Phương trình Bernoulli 
IV . Phân lọai chuyển đ ộng 
V. Gia tốc toàn phần của phần tử l ư u chất 
VI. Phân tích chuyển đ ộng của l ư u chất 
VII . Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối 
VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt 
IX . Bài tập áp dụng. 
1). Phương pháp Lagrange: là phương pháp thông dụng trong cơ học vật rắn nghĩa là khảo sát sự chuyển động của các phần tử chất lưu so với hệ trục chọn trước . Luật chuyển động của phần tử chất lưu được xác định bởi các phương trình: 
Chuyển động của chất lưu có thể mô tả bằng hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp Euler 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất 
1). Phương pháp Lagrange 	 
Trong ph ươ ng pháp Lagrage , các yếu tố chuyển đ ộng chỉ phụ thuộc vào thời gian, VD: u = at 2 +b 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
1). Ph ươ ng pháp Lagrange: 
 Dưới dạng tường minh chuyển đ ộng của thể tích l ư u chất đư ợc mô tả bởi vị trí của các phần tử theo thời gian của thể tích: 
 Ư u đ iểm : mô tả chuyển đ ộng một cách chi tiết . 
 Khuyết đ iểm : số l ư ợng ph ươ ng trình phải giải quá lớn (3n ); không thể mô tả cùng một lúc quỹ đ ạo của nhiều phần tử. 
 Khả n ă ng áp dụng : phòng thí nghiệm.	 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
2). Ph ươ ng pháp Euler: 	 
 Trong trường hợp t ơ ̉ng quát , người ta thường nghiên cứu chuyển đ ơ ̣ng của chất lưu bằng phương pháp Ơle. 
 Chuyển đ ộng của thể tích l ư u chất đư ợc quan niệm là tr ư ờng vận tốc và đư ợc mô tả bởi một hàm vận tốc liên tục theo không gian và thời gian: 
Ư u đ iểm : chỉ có 3 ph ươ ng trình. 
Khuyết đ iểm : không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển đ ộng. 
Khả n ă ng áp dụng : tính toán. 
Gia tốc 
Quỹ đạo 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
Việt nam 
Trung quốc 
2). Ph ươ ng pháp Euler: Chuyển đ ộng của thể tích l ư u chất đư ợc quan niệm là tr ư ờng vận tốc 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
 Các phương trình có biến thời gian gọi là chuyển động không dừng . 
 Các phương trình không có biến thời gian (t = 0) gọi là chuyển động dừng . 
 Phương pháp Ơle cho ta xác định đường dòng với phương trình vi phân ( phương trình đường dòng ), như sau: 
2). Ph ươ ng pháp Euler: Trong phương pháp Euler chuyển đ ộng của thể tích l ư u chất đư ợc quan niệm là tr ư ờng vận tốc ( dịng lưu chất ) 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
 Chuyển động của chất lưu có các thành phần vận tốc: 
Bài tập áp dụng 
 Thiết lập phương trình đường dòng? 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
Bài 1: 
 Tìm các thành phần gia tốc chuyển động của phần tử chất lưu theo biến số Ơle, nếu cho biết các thành phần vận tốc của chúng. 
Bài 2: 
 Xác đinh gia tốc của phần tử chất lưu đó tại điểm A có tọa độ A(1;1;1). Giả sử chuyển động là dừng và các tọa độ có đơn vị mét. 
I. Hai ph ươ ng pháp mô tả chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
1). Đ ư ờng dòng: là c ác  đường cong  sao cho mỗi phần tử chất lưu nằm trên đường dịng đều cĩ  vec tơ   lưu tốc tức thời  cĩ phương  tiếp tuyến  với đường dịng đĩ. 
s 
u 
u 
2). OÁng doøng laø beà maët daïng oáng taïo bôûi voâ soá caùc ñöôøng doøng cuøng ñi qua moät chu vi kheùp kín. 
II. Một số khái niệm thường dùng 
đường dòng 
ống dòng 
3). Dòng nguyên tố 
4). Mặt cắt ư ớt hay diện tích ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với các đư ờng dòng và nằm bên trong ống dòng . 
5). Chu vi ư ớt (P) là phần chu vi của mặt cắt n ơ i dòng chảy tiếp xúc với thành rắn (  0) . 
6). Bán kính thủy lực (R): 
là tỉ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt: 
P 
P 
 Mặt cắt ướt (A) 
 Chu vi ướt (P) 
II. Một số khái niệm thường dùng (tt) 
Bài 3: 
 Hình trên: biểu diễn mặt cắt ướt của chất lưu đựng trong một chậu dạng hình hộp chiều cao a, chiều rộng b. Tìm diện tích ướt, chu vi ướt và bán kính thủy lực? 
II. Một số khái niệm thường dùng 
7). Lưu lượng (Q) 
 Lưu lượng của dòng chảy là thể tích chất lỏng qua một mặt cắt ướt qua một đơn vị thời gian: 
8).Vận tốc trung bình của mặt cắt 
dA 
A 
II. Một số khái niệm thường dùng 
III. Phương trình Bernoulli 
Lấy trong chất lưu lý tưởng một ống dòng giới hạn bởi hai diện tích S 1 và S 2 vuông góc với các đường dòng (hình vẽ) 
Gọi u 1 và u 2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S 1 và S 2 tương ứng. 
 Đối với chất lỏng lí tưởng , trong trường hợp chuyển động dừng, ta có phương trình Bernoulli : 
Áp suất động 
u 1 
u 
u 2 
 Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là tổng thế năng, động năng là một đại lượng không đổi. 
 Phương trình Bernoulli 
 Thế năng 
 Động năng 
III. Phương trình Bernoulli (tt) 
Chú ý: Trường hợp chuyển động có thế phương trình Bernouli áp dụng cho 2 điểm bất kì 1 và 2 được viết: 
IV. Phân loại chuyển đ ộng 
1). Theo ma sát nhớt 
+ Chuyeån ñoäng cuûa chaát lỏng lyù töôûng không ma sát (  = 0). 
+ Chuyeån ñoäng cuûa chaát lỏng thöïc có ma sát(  0). 
2). Theo khoái löôïng rieâng: chuyển động của lưu chất khoâng neùn ñöôïc ( = const) - neùn ñöôïc ( const ) 
3). Theo thôøi gian: chuyeån ñoäng oån ñònh- khoâng oån ñònh 
4). Theo khoâng gian: chuyển động đều – khồng đều, một chiều, 2 chiều, 3 chiều. 
5). Theo trạng thái chảy: 
+ Chảy tầng: là trạng thái chảy mà ở đ ó các phần tử l ư u chất chuyển đ ộng tr ư ợt trên nhau thành từng tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau. 
+ Chảy rối: là trạng thái chảy mà ở đ ó các phần tử l ư u chất chuyển đ ộng hỗn loạn, các lớp l ư u chất xáo trộn vào nhau. 
 Thí nghiệm Reynolds 
Khi R e < 2320 thì chất lỏng chảy tầng; 
Khi R e > 2320 thì chất lỏng chảy rối. 
Hệ số Reynolds 
IV. Phân loại chuyển đ ộng (tt) 
V. Gia tốc toàn phần của phần tử l ư u chất 
Xét phần tử l ư u chất chuyển đ ộng trên quỹ đ ạo của nó (hình vẽ) 
+ Theo Lagrange, gia tốc của phần tử là: 
s 
Quỹ đ ạo 
+ Theo Euler, vận tốc là hàm theo không gian và thời gian vận tốc u đư ợc tính theo u 0 bằng chuỗi Taylor: 
s 
Quỹ đ ạo 
Thay vào biểu thức giới hạn, ta cĩ 
và thực hiện phép tính giới hạn: 
V. Gia tốc toàn phần của phần tử l ư u chất (tt) 
Gia tốc cục bộ 
 Các thành phần gia tốc trong hệ Oxyz 
Gia tốc đối lưu 
V. Gia tốc toàn phần của phần tử l ư u chất (tt) 
Vận tốc chuyển động tịnh tiến 
 Trong hệ trục toạ đ ộ O(x,y,z), xét vận tốc của hai đ iểm M(x,y,z) vàM 1 (x+dx,y+dy,z+dz), vì hai đ iểm rất sát nhau, nên ta có: 
VI. Phân tích chuyển đ ộng của l ư u chất 
Vận tốc biến dạng dài 
Vận tốc biến dạng góc và vận tốc quay 
 Định lý Hemholtz 
Chuyển động của lưu chất 
1).Tịnh tiến 
2). Quay 
3). Biến dạng 
Vận tốc quay  
Biến dạng góc 
Biến dạng dài 
Suất biến dạng góc : 
Suất biến dạng dài: 
Trong hệ Oxyz 
VI. Phân tích chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
Suất biến dạng góc 
Suất biến dạng dài 
Trong hệ Oxyz 
VI. Phân tích chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
 Vector vận tốc quay trong hệ Oxyz: 
 chuyển động thế (không quay) 
 chuyển động quay. 
 Phương trình đường xoáy: 
VI. Phân tích chuyển đ ộng của l ư u chất (tt) 
Bài 4: Cho vector vaän toác goàm 3 thaønh phaàn: 
u x = x 2 + y 2 + z 2 ; u y = xy + yz + z 2 ; u z = -3xz + z 2 /2 + 4. 
Cho biết x = y = z =1; Xem xét đó là chuyển động gì? 
Tìm vector vận tốc quay? 
 VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối  
1). Thể tích kiểm soát và đ ại l ư ợng nghiên cứu 	 
 Xét thể tích W trong không gian l ư u chất chuyển đ ộng. W có diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đ ại l ư ợng X nào đ ó của dòng l ư u chất chuyển đ ộng qua không gian này. Đại l ư ợngX của l ư u chất trong không gian W đư ợc tính bằng: 	 	 
W: thể tích kiểm soát 
X : Đại l ư ợng cần nghiên cứu 
k: Đại l ư ợng đơ n vị ( đ ại l ư ợng X trên 1 đơ n vị khối l ư ợng) 
Ví dụ: 
X là khối lượng thì k=1 và: 
X là động lượng thì k = và: 
X là động năng thì k = u 2 /2 và: 
 VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt)  
2). Định lí vận tải Reynolds-p. pháp thể tích kiểm soát 
 VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt)  
Chứng minh: 
+ Tại t: l ư u chất vào chiếm đ ầy thể tích kiểm soát W. 
+ Tại t+ Δ t: l ư u chất từ W chuyển đ ộng đ ến và chiếm khoảng không gian W 1 . 
Diện tích S 1 
Diện tích S 2 
Nghiên cứu sự biến thiên của đ ại l ư ợng X theo thời gian khi dòng chảy qua W 
2). Định lí vận tải Reynolds-phương pháp thể tích kiểm soát 
 VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt)  
+ Tại t: l ư u chất vào chiếm đ ầy thể tích kiểm soát W. 
+ Tại t+ Δ t: l ư u chất từ W chuyển đ ộng đ ến và chiếm khoảng không gian W 1 . 
+ Gọi S 1 là diện tích bao quanh thể tích kiểm sốt W, S 2 là diện tích bao quanh thể tích W 1 , B là phần giao của W và W 1 , A là phần bù của W, C là phần bù của W 1 
Diện tích S 1 
Diện tích S 2 
Nghiên cứu sự biến thiên của đ ại l ư ợng X theo thời gian khi dòng chảy qua W 
 VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt)  
Ta có: 
1. Ph ươ ng trình liên tục. 
X là khối l ư ợng: theo đ ịnh luật bảo toàn khối l ư ợng : 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát  
Biến đổi Gauss 
Hay 
Dạng vi phân phương trình liên tục 
a ). Nếu = const. Phương trình vi phân liên tục của chất lưu không nén được : 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
b). Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định, phương trình liên tục sẽ là: 
1. Ph ươ ng trình liên tục. 
c). Đối với toàn dòng chuyển đ ộng ổn đ ịnh (có một m/c vào, 1 m/c ra)→ phương trình liên tục cho toàn dòng l ư u chất chuyển đ ộng ổn đ ịnh dạng khối l ư ợng: 
2 
2 
1 
1 
S n 
A 2 
A 1 
u n =0 
M 1 : khối l ư ợng l ư u chất vào mặt cắt A 1 trong 1 đ ơn vị thời gian. 
M 2 : khối l ư ợng l ư u chất vào mặt cắt A 1 trong 1 đ ơn vị thời gian. 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
d). Đối với toàn dòng chuyển đ ộng ổn đ ịnh (có một m/c vào, 1 m/c ra), l ư u chấtkhông nén đư ợc: → phương trình liên tục cho toàn dòng l ư u chất không nén đư ợc chuyển đ ộng ổn đ ịnh: 
e).Trong tr ư ờng hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. đ ộng ổn đ ịnh, l ư u chất không nén đư ợc, tại một nút, ta có: → phương trình liên tục tại một nút cho toàn dòng l ư u chất không nén đư ợc chuyển đ ộng ổn đ ịnh: 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
2). Phương trình năng lượng 
Khi X là năng lượng E của một dòng chảy có khối lượng m, E bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta có: 
X = E = E u + ½ mu 2 + mgZ với Z = z + p/  
Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng chất lưu k là: 
trong đó: e u là nội năng của một đơn vị khối lượng, 
 ½ u 2 là động năng của một đơn vị khối lượng, 
 gz là vị năng của một đơn vị khối lượng, 
 p/ là áp năng của một đơn vị khối lượng. 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi công (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát):	 	 
Từ phương trình của định luật I nhiệt động học, dùng phương pháp thể tích kiểm soát ta sẽ thu được dạng tổng quát của phương trình năng lượng là: 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
3). Phương trình động lượng 
Khi X là động lượng thì k = u và: 
Định lý biến thiên động lượng : biến thiên động lượng của chất lưu qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích S) trong một đơn vị thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó: 
Dùng biểu thức của định lý vận tải Reynolds 
Ta thu được dạng tổng quát của phương trình động lượng: 
 VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt)  
Chuyển động của chất lỏng lí tưởng không chịu nén được cho trước bằng các thành phần vận tốc: 
Tìm lưu lượng Q đi qua mặt kín tứ diện vuông góc có đỉnh ở gốc tọa độ OABC. 
Bài 5: 
Hướng dẫn giải: 
Vì : 
Nên ta phải tìm: 
Thay (2) vào (1) ta có: 
Bài 6: 
Tại điểm E của bình chứa có độ sâu 10m, nối một ống dài có miệng phun ở độ sâu 30m (hình vẽ) so với mặt nước trong bình chứa. Ống có đường kính 8cm, đầu ống có lắp một vòi phun T có đường kính miệng phun d=4cm với hệ số lưu lượng là 1. 
1. Xác định vận tốc v T của dòng nước ra khỏi vòi. 
2. Tính lưu lượng của nó. 
3. Xác định áp suất tĩnh tại các điểm E và S là điểm ở trong vòi phun. Giả thiết bỏ qua tổn thất và cho g = 10m/s 2 . 
Bài tập tự giải 
Thế vận tốc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng : = x 2 – y 2 . 
 Xác định độ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khối và cho trọng lượng riêng chất lỏng là  = 10 3 kg/m 3 ; cho g = 9,81m/s 2 . 
	Thế vận tốc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng : = x 2 – y 2 . 
 	Xác định độ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khối và cho trọng lượng riêng chất lỏng là  =10 3 kg/m 3 ; cho g=9,81m/s 2 . 
Bài 1: 
 Tìm phương trình đường dòng và quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, nếu biết các thành phần vận tốc của nó là. 
Bài 2: 
Bài 3 
Tìm đường dòng và quỹ đạo chuyển động của các phần tử chất lưu không nén, nếu biết các thành phần vận tốc của chúng: 
Trong đó =const 
Các thành phần vận tốc của một phần tử chất lưu là: 
Bài 4: 
Xác định phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6). 
Bài 5: 
Các thành phần vận tốc của nguyên tố chất lỏng là : 
Tìm biểu thức thành phần vận tốc u z chất lỏng không chịu nén và chuyển động dừng. Cho biết: tại gốc tọa độ vận tốc các phần tử chất lỏng 
Biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng chuyển động dừng. 
Bài 6: 
Tìm vector vận tốc quay? Cho biết x = y = z =1, xem xét đó là chuyển động gì? Tìm phương trình các đường xoáy. 
Cho biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng: 
Bài 7: 
 Xem xét đó là chuyển động gì? 
Tìm phương trình các đường xoáy. 
Cho biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng: 
Bài 8: 
Xem xét đó là chuyển động gì? Tìm vector vận tốc quay. 
Bài 9: Chuyển đ ộng có vector vận tốc: 
u x = ay + by 2 ; u y = uz =0; Với a, b là hằng số 
a. Chuyển đ ộng có quay không? 
b. Xác đ ịnh a, b đ ể không có biến dạng góc.