Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 2: Tĩnh học lưu chất

CH ƯƠ NG 2: TĨNH HỌC L Ư U CHẤT 
I. Khái niệm 
II. Áp suất thủy tĩnh 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất 
IV. Lực tác dụng lên thành phẳng 
V. Lực tác dụng lên thành cong đơn giản 
VI. Ứng dụng tĩnh học tương đối 
I. Khái niệm: 
	 Tĩnh học chất lưu nghiên cứu l ư u chất ở trạng thái cân bằng , không có chuyển đ ộng t ươ ng đ ối giữa các phần tử. 
 T ĩnh tuyệt đối: khi lưu chất nằm ở trạng thái cân bằng chỉ chịu tác dụng của một ngoại lực duy nhất là trọng lực. 
 Tĩnh tương đối: khi lưu chất nằm ở trạng thái cân bằng chịu tác dụng của nhiều ngoại lực (trọng lực, lực quán tính, lực ly tâm, .) 
II. Áp suất thủy tĩnh 
1. Định nghĩa: Áp suất thủy tĩnh là lực pháp tuyến tác dụng lên một đơ n vị diện tích 
Áp suất thủy tĩnh tại một đ iểm: 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
2. Tính chất: 
a). Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và h ư ớng vào diện tích ấy. 
b). Giá trị áp suất tại một đ iểm không phụ thuộc vào h ư ớng đặt của diện tích chịu lực. 
 Các lực tác dụng lên phần tử chất lưu gồm: 
Lực mặt: p x  y  z; p y  x  z; p z  y  x; p s  y  s. 
Lực khối: F  x  y  z 
 với là khối lượng riêng của chất lưu, F là lực khối đơn vị. 
 Ta có thể chứng minh tính chất (b) như sau : xeùt söï caân baèng cuûa 1 vi phaân theå tích löu chaát hình laêng truï tam giaùc. 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
s 
 z 
x 
 y 
p x 
 p s 
A 
B 
C 
D 
F 
E 
z 
x 
y 
 
O 
Lực do p x tác dụng lên mặt ABCD chiếu lên Ox: p x . y.z  Lực do p s tác dụng lên mặt BCEF chiếu lên Ox: -p s . y.s.sin = -p s . y. s. z/ s  = -p s . y. z 
F là lực khối đơ n vị , lực khối tác dụng lên phần tử l ư u chất chiếu lên Ox là: 
s 
 z 
x 
 y 
p x 
 p s 
A 
B 
C 
D 
F 
E 
z 
x 
y 
 
O 
II. Áp suất thủy tĩnh 
Do khối chất lưu nằm cân bằng nên tổng các lực tác dụng lên nó theo phương bất kỳ phải bằng không , chẳng hạn phương x, ta có: 
p x . y.z - p s . y.z + ( 1/2) . F x . x . y.z = 0 
 Hay p x - p s + ( 1/2) . F x . x = 0 . 
 Khi x 0 p x = p s 
s 
 z 
x 
 y 
p x 
 p s 
A 
B 
C 
D 
F 
E 
z 
x 
y 
 
O 
Chứng minh tương tự cho các phương khác, cuối cùng ta có: 
p x = p y = p z = p n 	 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
3. Đơn vị của áp suất 
+ Hệ SI: [p] = N/m 2 = Pa 
+ Hệ khác : kgf/cm 2 , atmotphe kỹ thuật (at), atmotphe vật lý (atm), m nước, mmHg, 
1 at = kgf/cm 2 
 = 10 m nước 
 = 735 mmHg 
 = 9,81.10 4 Pa (N/m 2 ) 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
a). Mặt đẳng áp của chất lỏng nằm trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm ngang. 
 Phương trình mặt đẳng áp: 
 F x dx + F y dy + F z dz = 0 
b). Áp suất tuyệt đối p tđ : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là chân không tuyệt đối, nó chính là giá trị áp suất thực. 
 ví dụ áp suất của không khí p k = 98100 N/m 2 . 
4. Mặt đẳng áp, áp suất tuyệt đ ối, áp suất d ư , áp suất chân không: 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
c). Áp suất dư p d : là giá trị đo áp suất so với chuẩn là áp suất khí trời (p a ) tại vị trí đo (còn gọi là áp suất tương đối) hay áp suất được so sánh với áp suất khí quyển: p d = p tđ – p a 	 	 
d). Áp suất chân không p ck : là áp suất còn thiếu cần phải thêm vào cho bằng áp suất khí trời: 
p ck = p a – p tđ = 98100 N/m 2 – p tđ = – p d	 
4. Mặt đẳng áp, áp suất tuyệt đ ối, áp suất d ư , áp suất chân không: 
II. Áp suất thủy tĩnh (tt) 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất 
 1. Phương trình vi phân cơ bản. 
Xét khoái chất lỏng vi phaân , caïnh  x,  y,  z, 
caân baèng , khoái löôïng rieâng ρ. 
+ Löïc khoái đơn vị: 
+ Löïc taùc duïng leân khoái hình hoäp 
 theo phöông Ox laø : 
 Löïc khoái: 
 Löïc maët  aùp löïc: 
x 
z 
y 
O 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
 Lực tác động lên chất lỏng gồm: lực khối và lực mặt . Toång ngoaïi löïc taùc duïng chieáu leân phöông x: 
 AÙp duïng ñònh luaät I Newton 
cho 1 phaàn töû löu chaát caân baèng: 
x 
z 
y 
Vậy dạng véc tơ ph ươ ng trình c ơ bản tĩnh học l ư u chất là: 
Dưới dạng tọa độ Đêcác 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
a). Chất lỏng nằm trong trường trọng lực : 
(1), (2) là phương trình thủy tĩnh 
F x ; F y = 0; F z = -g 
 p A 
 p B 
 h AB 
 Chuẩn 0 
 z B 
 z A 
 p a 
p trong phương trình thủy tĩnh là áp suất tuyệt đối p tđ hoặc áp suất dư p dư 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
Bài 1: viết phương trình thủy tĩnh cho 2 điểm A và B như hình vẽ: 
y 
z 
 z B 
z A 
A 
 h AB =z B -z A 
p B 
p A 
B 
 x 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
Bài tập áp dụng 
b). Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được: 
Chất khí là khí lý t ư ởng, s ử dụng ph ươ ng trình khí lý t ư ởng: p = RT 
Nếu nhiệt độ khối khí thay đổi theo độ cao , ví dụ theo qui luật T = T o – az với a > 0, T o là nhiệt độ ứng với z = 0 (thường lấy là mực nước biển). Khi đó: 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
 Cuối cùng ta thu được phương trình tĩnh học khí quyển: 
b). Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được: 
Lấy tích phân hai vế ta được: 
Kí hiệu p o là áp suất ở độ cao z = 0, ta có: 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
 2. Ứng dụng 
 p=0, chân kh ơ ng tuyệt đối 
 h tđ A 
 A 
 B 
 h dư A 
 A 
 B 
 p a 
 A 
 B 
 p a 
 h ck A 
 p A = p B + h tđ 
 p dư A = p dư B + h dư 
 = h dư 
 p dư A = p dư B - h ck 
 p ck A = h ck 
 a). Các áp kế 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
Một ống hình chữ U hở hai đầu đựng hai chất lỏng khối lượng riêng 1 và 2 tương ứng (hình vẽ). 
Từ phương trình thuỷ tĩnh ta có 	 
p A = p A’ + 2 gh 2 ; p B = p B’ + 1 gh 1 (1) 
 p A = p A’ +  2 h 2 ; p B = p B’ +  1 h 1 (2) 
Ta có: p A = p B (mặt đẳng áp) và p A’ = p B’ = p a 
 b). Định luật hai bình thông nhau: 
 2. Ứng dụng 
 Từ các (1) và (2) ta suy ra: 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
c). Định luật Pascal: Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáu aùp suaát taêng leân moät ñaïi löôïng Δ p thì ñaïi löôïng naøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löu chaát. 
→ öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc 
Kích thủy lực 
η - Hiệu suất máy, η < 1 . 
d). Biểu đồ phân bố áp suất theo chiều sâu 
 2. Ứng dụng 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
e). Biểu đồ phân bố áp suất trên mặt cong 
 2. Ứng dụng 
III. Ph ươ ng trình vi phân c ơ bản của tĩnh học l ư u chất (tt) 
Dùng biểu đồ phân bố áp suất theo chiều sâu, ta xác định được áp lực tác dụng lên các mặt của khối chất lỏng hình hộp chữ nhật có đáy nằm ngang (hình vẽ). 
Áp lực tác dụng lên mặt đáy (hình a): F =  hLb 
Áp lực tác dụng lên mặt bên (hình b): F =  h 2 b/2 
(a) 
(b) 
	 Bài 2 : N ư ớc chảy trong ống từ A-B. Để đ o đ ộ chênh cột áp tĩnh ng ư ời ta dùng ống đ o áp đ o chênh nh ư hình vẽ. Xác đ ịnh đ ộ chênh cột áp tĩnh và đ ộ chênh áp suất giữa 2 đ iểm A và B. 
	 Biết chất lỏng (1) là n ư ớc  n ư ớc = 1000kg/m 3 (2) là thủy ngân  Hg = 13,6, h =0,7m, b-a = 0,3m 
Hướng dẫn giải: Ph ươ ng trình thủy tĩnh áp dụng cho các cặp đ iểm A-M, M-N, N-B: 
 
 Độ chênh cột áp tĩnh giữa 2 đ iểm A và B là 
 
 Hay 
 
Độ chênh áp suất giữa 2 đ iểm A và B là: 
x 
Bề mặt chất lỏng 
Trọng l ư ợng riêng =  
dF 
h 
h C 
F 
y 
dS 
C 
D 
y 
y C 
y D 
O 
p 0 
Cho 1 tấm phẳng, diện tích S nằm chìm trong chất lỏng và nghiêng một góc  so với bề mặt chất lỏng. 
IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG 
D:tâm áp lực 
C: trọng tâm 
1 ). Độ lớn: Xét một vi phân diện tích dS, áp lực tác dụng thẳng góc vào diện tích và có giá trị: dF = pdS p = p 0 + h 
Áp lực tác dụng lên tòan bộ diện tích: 
IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt) 
 p C là giá trị áp suất tại trọng tâm C của tấm phẳng , p 0 là áp tại mặt thống , 
 F = p C S = (p 0 + h C )S 
 vậy 
x 
Bề mặt chất lỏng 
Trọng l ư ợng riêng =  
dF 
h 
h C 
F 
y 
dS 
C 
D 
y 
y C 
y D 
O 
D:Tâm áp lực 
 h C = y C .sin α 
 Áp dụng định lý Varignon's: “Mômen của hợp lực đối với một trục bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với trục đó”. Mômen đối với trục Ox: 
Ñoä leäch taâm: 
IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt) 
Hay 
y D - toạ độ tâm áp lực	 
y C - toạ độ trọng tâm 
h C - độ sâu trọng tâm 
I C là mômen quán tính của S ứng với trục song song với Ox và đi qua trọng tâm C. 
2). Điểm đ ặt lực tại D: 
Sau khi tích phân ta được 
 Điểm đặt áp lực luôn ở sâu hơn trọng tâm của hình phẳng. 
 I c của một số hình: 
 - Hình tròn đường kính d: 
	I c = d 4 /64 
 - Hình chữ nhật rộng b cao h:	 
I c = b.h 3 /12 	 
	 - Hình tam giác đều cạnh b chiều cao h: 
 I c = b.h 3 /36 	 
IV. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG (tt) 
1). Trường hợp đơn giản: mặt cong một chiều abc nằm xiên góc đối với trục Oz và Oy, có cạnh ab song song với trục Oy (hình vẽ ). 
V. LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG 
 Lực tổng cộng tác dụng lên mặt cong: 
 Theo phương x, ta có: 
 Theo phương z, ta có: 
W gọi là thể tích vật áp lực , là thể tích giới hạn bởi mặt cong và các mặt bên thẳng đứng tựa trên chu vi của mặt cong và mặt thoáng. VD? 
Xét vật có thể tích W chìm trong chất lỏng 
Xét vi phân thể tích dW hình l ă ng trụ thẳng 
đ ứng. Nó có 2 bề mặt trên và d ư ới tiếp xúc 
với chất lỏng và thành phần áp lực trên 
ph ươ ng trục z tác dụng trên 2 bề mặt này 
là: dF z1 và dF z2 . 
Áp lực tổng cộng tác dụng lên dW theo trục z: 
Thành phần áp lực trên trục z tác dụng lên toàn bộ bề mặt bao bọc thể tích W: 
T ươ ng tự, tính đư ợc 2 thành phần áp lực trên 2 trục còn lại: 
z 
p 0 
x 
dS z 
dW z1 
dF z1 
dF z2 
dW z2 
W 
dF z = dF z2 - df z1 
dW 
(  ) 
2). Lực đ ẩy Archimedè: 
 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng 
Ký hiệu C là điểm đặt của trọng lượng của vật, D là điểm đặt của lực đẩy Archimède tác dụng lên vật. Khi vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng sẽ có thể có 2 trường hợp xảy ra hình vẽ. 
Nếu C nằm ở dưới điểm D, vì một lý do nào đó (ngoại lực tác dụng chẳng hạn) vật bị nghiêng đi, khi không còn tác dụng của ngoại lực vật sẽ tự chuyển về trạng thái cân bằng ban đầu. Đó là trạng thái cân bằng ổn định. 
Nếu C nằm trên điểm D, khi vật bị nghiêng đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu, nó sẽ không thể tự trở về trạng thái cân bằng ban đầu được. Đó là trạng thái cân bằng không ổn định. 
 3. Sự cân bằng một vật trong chất lưu 
 3. Sự cân bằng một vật trong chất lưu 
Bài 3: Cho 1 cửa van hình chữ nhật có bề rộng b = 5m. Chịu áp lực n ư ớc th ư ợng l ư u nh ư hình vẽ với H = 2m. Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van? 	 	 
O 
C 
H 
Bài 4: Cho 1 tấm phẳng hình tam giác chìm trong chất lỏng có tỷ trọng  = 1.2, có các kích th ư ớc nh ư sau: 
	h = 3m, b = 2m; H = 1m, = 60 0; p 0 = 0. Tìm độ lớn của áp lực; độ sâu trọng tâm;toạ độ trọng tâm và độ lệch tâm cùa vật . 
h C 
x 
p 0 
y 
O 
 
h 
b 
C 
Bài 5: Van phẳng hình tròn đ ặt trên mặt phẳng nghiêng 1 góc 60 0 nh ư hình vẽ. Van có thể quay quanh trục nằm ngang qua tâm C. Bỏ qua ma sát. Xác đ ịnh: 
a. Áp lực tác dụng lên van 
b. Momen cần tác dụng đ ể mở van. 
Bài 6: Xác đ ịnh áp lực do dầu tác dụng lên một van cung dạng ¼ hình trụ có bán kính 0,5m, dài 2m nằm d ư ới đ ộ sâu h =1m. 
h=1m 
Dầu (0,8) 
F Z 
F 
 
F X 
p a 
 Hướng dẫn g iải : 
1). Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển đ ộng thẳng với gia tốc không đ ổi. 
Vector c ư ờng đ ộ lực khối: 
	dp = -  a x dx - (g+a z )dz 
Ph ươ ng trình của áp suất thủy tĩnh: 
 Mặt đ ẳng áp: 	 
* Chuyển đ ộng thẳng ngang : p +  ax + gz = const; 
Trên mặt phẳng x=const: 
* Chuyển đ ộng thẳng đ ứng: p +  (g+a)z = const; z =C 	 
a 
a 
x 
z 
a 
x 
z 
a=a z 
z 
x 
VI. Ứng dụng tĩnh học t ươ ng đ ối 
p +  a x x+ (g+a z )z = const 
2). Chất lỏng tĩnh trong thùng chuyển đ ộng quay tròn đ ều. 
Vector c ư ờng đ ộ lực khối: 
	dp =  r 2 dr - gdz 
 Ph ươ ng trình của áp suất thủy tĩnh: 
	Mặt đ ẳng áp:	 
 Họ các mặt cong paraboloid tròn xoay 
 Trên mặt trụ r = const: 
x 
z 
w 
VI. Ứng dụng tĩnh học t ươ ng đ ối (tt) 
Bài 7: Một bình kín rộng 2m, chứa đ ấy n ư ớc chuyển đ ộng nhanh dần đ ều theo ph ươ ng ngang, chiều nh ư hình vẽ (gia tốc a = 2m/s). Nếu tại E có 1 lỗ nhỏ. Xác đ ịnh áp suất tại A và B và áp lực tác dụng lên mặt đ ứng AB. 
Giải: 
p E = p a = 0 
P +  a x x + gz =const 
p A +  a x x A + gz A = p E +  a x x E + gz E 
 p A = p E + a x (x E - x A ) = 0 +1000x2x0,5 =1000 Pa 
p A +  a x x A + gz A = p B +  a x x B + gz B 
 p B = p A + gh AB = 1000 +1000x9,81x1 =10810 Pa 
Trên mặt AB áp suất phân bố theo quy luật: 
Nên: 
1m 
A 
B 
x 
z 
0,5m 
0,6m 
E 
Bài 8: Ba ống nhỏ cùng đư ờng kính cao H = 1m nối với nhau nh ư hình vẽ, chứa n ư ớc đ ến đ ộ cao h = 0,5m. Biết a =0,4m. Xác đ ịnh chiều cao n ư ớc trong 3 ống nếu 3 ống quay đ ều quanh trục z với vận tốc  = 2rad/s 
h1 
z 
 
h3 
h 
h2 
a 
3a 
r 
Bài 9: Cho một xe có kích th ư ớc H = 3m 
, L = 5m, b = 2m, chứa n ư ớc đ ến chiều cao 
h = 2,5m, chuyển đ ộng nhanh dần đ ều theo 
ph ươ ng ngang với gia tốc a nh ư hình vẽ. Hỏi: 
1. a max đ ể n ư ớc không tràn ra ngoài ? 
2. Tính áp lực n ư ớc lên thành sau xe 
Giải: 
Từ ph ươ ng trình mặt thoáng: 
Áp lực lên thành sau của xe: 
 P sau = b = 9810N/m 3 x(0,5x3mx3m)x2m = 88290 N 
x 
z 
a 
a 
L 
H 
h 
0,5 
0,5 
H 
H 
Bài 10 : Cho một bình hở có kích th ư ớc 
R = 3m, H = 4m, chứa n ư ớc đ ến chiều 
cao h = 3,1m, chuyển đ ộng quay tròn 
xung quanh truc của bình với vận tốc  
nh ư hình vẽ. Hỏi: 
1.  max đ ể n ư ớc không tràn ra ngoài ? 
2. Tính áp lực n ư ớc lên ½ thành bình 
Giải: Từ ph ươ ng trình mặt thoáng: 
 Tại A: 
 Tại B: H 1 = C 
Áp lực lên thành sau của xe: 
 p ysau = 2R = 9810N/m 3 x(0,5x4mx4m)x2x3m = 470880 N 
x 
z 
w 
R 
h 
H 
A 
B 
H 1 
0,9 
0,9 
H 
H