Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài 7: Ổn định các hệ thống điện cơ - Nguyễn Quang Nam

1Bài giảng 7
408001
Biến đổi năng lượng điện cơ
Giảng viên: TS. Nguyễn Quang Nam
2013 – 2014, HK2
2Bài giảng 7

 Các mô hình động học của hệ thống điện được mô tả bởi 
các phương trình vi phân. Tính ổn định của hệ thống phi 
tuyến trong vận hành được đặc biệt quan tâm. Một số công 
cụ phân tích tính ổn định sẽ được giới thiệu.

 Nghiệm trong miền thời gian của bài toán động học hệ
thống có được bằng việc tính tích phân số và các điểm cân 
bằng được xác định bằng đồ thị. Với các hệ thống bậc cao 
hơn, các kỹ thuật số được sử dụng để tính các điểm cân 
bằng.
Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu
3Bài giảng 7

 Sẽ có ích nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay 
không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, 
luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian.

 Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích 
tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định 
hay không.

 Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh 
giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không 
cần các mô phỏng trong miền thời gian.
Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt)
4Bài giảng 7

 Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập 
của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện. Hệ vật lý có thể có 
thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động 
hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví
dụ, sự cố hay sét đánh).

 Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là
Tuyến tính hóa
( )uxfx ,=&
5Bài giảng 7
Tuyến tính hóa (tt)

 Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor 
quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào không đổi, và chỉ giữ
lại các số hạng bậc nhất
uˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u
u
f
x
x
f
uxfuu
u
f
xx
x
f
uxfuxf eee ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+=−
∂
∂
+−
∂
∂
+=
0000
ˆ,ˆˆ,,
Hay
( ) ( ) u
u
f
x
x
f
uxfuxfx e ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=−=∆
00
ˆ,,&
6Bài giảng 7

 Gọi , , và . Tuyến 
tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến
Tuyến tính hóa hệ bậc hai
( )uxxfx ,, 2111 =&
( )uxxfx ,, 2122 =&
exxx 111 −=∆
exxx 222 −=∆ uuu ˆ−=∆
u
u
f
u
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
∆














∂
∂
∂
∂
+





∆
∆














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=





∆
∆
0
2
0
1
2
1
02
2
01
2
02
1
01
1
2
1
&
&
A
7Bài giảng 7
Tuyến tính hóa hệ bậc hai

 Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A.

 Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương 
trình det(A – λI) = 0.

 Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái 
của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0).
8Bài giảng 7
Ổn định của hệ bậc hai
( )
xx
x
xf
M
x
dt
d
M
B
dt
xd ∆−=∆
∂
∂
=∆+∆ 20
0
2
2 1
ω

 Xét mô hình một hệ bậc hai
( )uxf
dt
dxB
dt
xdM ,2
2
=+
có dạng tuyến tính hóa

 Định nghĩa và , dạng không gian trạng 
thái trở thành
1xx ∆=∆ 2xx ∆=∆&






∆
∆






−−
=





∆
∆
2
1
2
02
1 10
x
x
MBx
x
ω&
&
9Bài giảng 7
Ổn định của hệ bậc hai (tt)

 Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được
0
1
2
0
=
−−−
−
λω
λ
MB
020
2
=++ ωλλ
M
B

 Trường hợp I (B > 0, M > 0, )020 >ω
2
02
2
4
ω>
M
B 2
02
2
4
ω=
M
B 2
02
2
4
ω<
M
B

 Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính
2
02
2
21 42
, ωλλ −±−=
M
B
M
B
Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định.
10Bài giảng 7
Ổn định của hệ bậc hai (tt)

 Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định 

 Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định
nếu , hay ở biên ổn định nếu .020 ω
020 <ω
11Bài giảng 7
Ví dụ 5.1
 Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng
và phương trình chuyển động
Hãy tìm các điểm cân bằng xe > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn 
tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng.

 Lực điện từ fe
( ) 0 ,12
1 2
0
0 >
+
=′ xILW
a
xm
efMg
dt
xdM +=2
2
( ) a
IL
x
Wf
a
x
me 1
12
1
2
2
00
+
−=
∂
′∂
=

 Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến
12Bài giảng 7
Ví dụ 5.1 (tt)

 Giải theo x
( ) a
ILMg
a
x
1
12
1
2
2
00
+
=








±−=
Mga
IL
axe
2
1
2
00

 Chọn x > 0 như yêu cầu 







+−=
Mga
IL
axe
2
1
2
00

 Để tồn tại xe > 0, I0 cần thỏa điều kiện
0
0
2
L
MgaI >
13Bài giảng 7
Ví dụ 5.1 (tt)

 Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và . Do đó, hệ
thống nằm trên biên ổn định tại x = xe.
( ) xa
IL
x
x
f
dt
xdM
a
x
xx
e
e
e
∆
+
=∆
∂
∂
=
∆
=
23
2
00
2
2 1
1

 Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động
020 <ω
14Bài giảng 7
Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến

 Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến 
có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức 
mạnh tính toán.

 Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được 
bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích 
phân số.

 Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là 
phương pháp Lyapunov.

 Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn.
15Bài giảng 7
Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến

 Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và 
điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này.

 Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào 
một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.

 Coi V(θ) = 0 tại θ = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ θ, thế năng 
được cho bởi
( ) ( )( )θθ cos1−= MglV
16Bài giảng 7
Hệ bảo toàn

 Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, 
vậy
( )( )θθ sin2
2
lMg
dt
dJ −=

 Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của 
một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này,
( ) ( )( )[ ] ( )
θ
θθ
θ
θ
∂
∂
−=−
∂
∂
−=−
VMglMgl cos1sin
17Bài giảng 7
Hệ bảo toàn (tt)
( )
θ
θθ
∂
∂
−=
V
dt
dJ 2
2
Dẫn đến

 Các điểm cân bằng là nghiệm của
( ) ( ) 0sin =−=
∂
∂
− θ
θ
θ MglV

 Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –pi đến +pi,
0 ,piθ ±=e
18Bài giảng 7
Năng lượng của hệ

 Xét
( ) 02
2
=
∂
∂
+
θ
θθ V
dt
dJ

 Nhân với dθ/dt để có
( )
{
EV
dt
dJ =+





energy Potential
energy Kinetic
2
2
1 θθ
43421
( ) 02
2
=
∂
∂
+
dt
dV
dt
d
dt
dJ θ
θ
θθθ

 Tích phân theo t để thu được

 Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường 
hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng.
19Bài giảng 7
Hàm năng lượng trong hệ điện cơ

 Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ 
cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng.
Mech.
system
Ghép
điện
cơ
Te or fe
θ or x
+
_
+
_
+
_
I2
I1
λ1
λ2

 Nếu λ hoặc i ở mỗi cửa 
được giữ không đổi, có thể
dự đoán một dịch chuyển đều 
trong hệ cơ. Không có dòng 
chảy năng lượng hay đồng 
năng lượng vào cửa điện. Ở
hệ cơ, giả thiết không có
phần tử tiêu tán năng lượng.
20Bài giảng 7
Hàm năng lượng trong hệ điện cơ

 Thế năng tổng quát hóa:
( ) ( ) ( )θθθ ,, 21' IIWUV m−=
( ) ( ) ( )θθθ ,, 21 ΛΛ+= mWUV
(dòng hằng i1 và i2)
(từ thông móc vòng hằng λ1 và λ2)
( )
θ
θ
∂
∂
−=
UT m

 Lực cơ học gây tác động
21Bài giảng 7
Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng

 Phương trình mômen ( ) 02
2
=
∂
∂
+
θ
θθ V
dt
dJ

 Các điểm cân bằng có được bằng cách giải ( ) 0=∂
∂
θ
θV

 Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng θe cho ta
( ) 02
2
2
2
=∆
∂
∂
+
∆
=
θ
θ
θθ
θθ e
V
dt
dJ

 θe là ổn định nếu , θe là không ổn định nếu( ) 02
2
>
∂
∂
=
e
V
θθθ
θ
( ) 02
2
<
∂
∂
=
e
V
θθθ
θ
22Bài giảng 7
Ví dụ 5.2 và 5.3
 Cho hệ phương trình
với R = 1 Ω và v(t) = 2 V.
Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, 
biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng.

 Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra
( ) ( )tviRi
dt
d
i
dt
d
=+
+−=
θ
θθ
2
4 22
2

 Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (θe, ie) = (1, 2).
( ) 1/4 ,2/ 2 ==== iRtvi θ
23Bài giảng 7
Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)

 Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng

 Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3.
( )
( ) 022
442
00
00
2
2
2
=∆+∆+∆
∆+∆=∆+∆=∆
iii
dt
d
iiii
dt
d
θθ
θθθθ

 Định nghĩa các biến trạng thái x1, x2, x3 lần lượt là ∆θ, , 
và ∆i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau
θ&∆
24Bài giảng 7
Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)

 Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau




















−−
=










3
2
1
3
2
1
5.020
404
010
x
x
x
x
x
x
&
&
&

 Giải ra ta được 3 trị riêng:
0245.0 23 =−++ λλλ
0502,24578,0 ,4515,0 3,21 j±−== λλ
25Bài giảng 7
Ví dụ 5.4
 Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình
Hãy viết phương trình chuyển động. Với λ = 1, M = 1, và Mg = 
2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng. 
Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định 
của hệ tại điểm cân bằng trên.
( )22 12 xi −+= λλ

 Tính lực điện từ theo hàm năng lượng
( )( ) ( )223
0
22 1
3
12 xdxWm −+=′−′+′= ∫ λ
λλλλ
λ
26Bài giảng 7
Ví dụ 5.4 (tt)
( )( ) ( )xx
x
Wf me −=−−−=
∂
∂
−= 1221 22 λλ

 Phương trình chuyển động
( ) 2 0212 =⇒=+− exx
( ) MgxMgf
dt
xdM e +−=+= 12 22
2
λ

 Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với λ, M, và Mg đã cho)

 Hàm năng lượng tại λ đã cho
( ) ( )2
1
13/1, xxWm −+==λλ
27Bài giảng 7
Ví dụ 5.4 (tt)
( ) ( ) MgxxUMg
x
xU
−=⇒=
∂
∂
− 

 Chọn U(x)
( ) 022
2
2
2
2
>==
∂
∂
=
=
e
e
x
x
x
V
( ) ( ) ( ) ( )2
1
13/12, xxxWxUxV m −++−=+= =λλ

 Xây dựng hàm thế năng V(x)

 Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2.

 Tính đạo hàm cấp 2 của V(x)