Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài 5: Hệ thống điện cơ - Nguyễn Quang Nam

1Bài giảng 5
408001
Biến đổi năng lượng điện cơ
Giảng viên: TS. Nguyễn Quang Nam
2013 – 2014, HK2
2Bài giảng 5

 Mạch từ với một phần tử chuyển động sẽ được khảo sát.

 Mô hình toán cho các hệ thống điện cơ thông số tập 
trung sẽ được rút ra.

 Một hay nhiều hệ cuộn dây tương tác để tạo ra lực hay 
mômen trên hệ cơ sẽ được khảo sát.
Hệ thống điện cơ – Giới thiệu
3Bài giảng 5

 Một cách tổng quát, cả dòng điện trong cuộn dây lẫn 
lực/mômen sẽ biến thiên theo thời gian.

 Một hệ phương trình vi phân điện cơ có tương quan 
được rút ra, và chuyển thành dạng không gian trạng thái, 
thuận tiện cho việc mô phỏng trên máy tính, phân tích, và
thiết kế.
Hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt)
4Bài giảng 5
S

 Xét hệ thống trong hình 4.1

 Định luật Ampere
trở thành

 Định luật Faraday
Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ
∫∫ ⋅•=• S fC daJdlH η
NiHl =
∫ ∫ ⋅•−=•C S daBdt
ddlE η
( )
dt
dN
dt
d
v
λ
=Φ=
trở thành
Đường kín C
5Bài giảng 5
Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ (tt)

 Việc áp dụng định luật Gauss còn tùy thuộc vào hình dạng, 
và cần thiết cho hệ thống với các cường độ từ trường H khác 
nhau.

 Định luật bảo toàn điện tích sẽ dẫn đến KCL.
6Bài giảng 5

 Với các hệ chuyển động tịnh tiến, λ = λ(i, x).

 Khi hình dạng của mạch từ là đơn giản, theo định luật 
Faraday
Cấu trúc của một hệ thống điện cơ
Hệ điện
(tập trung)
Ghép
điện cơ
Hệ cơ
(tập trung)
v, i, λ fe, x or Te, θ
dt
dx
xdt
di
idt
d
v
∂
∂
+
∂
∂
==
λλλ
Điện áp biến áp Điện áp tốc độ
7Bài giảng 5
Như vậy,
Hệ tuyến tính về điện
( )ixL=λ
( ) ( )
dt
dx
dx
xdLi
dt
di
xLv +=

 Với hệ không có phần tử chuyển động
Li=λ
dt
diLv =

 Với hệ có nhiều cửa
∑∑
== ∂
∂
+
∂
∂
==
M
j
j
j
kN
j
j
j
kk
k dt
dx
xdt
di
idt
d
v
11
λλλ Nk ,...,2,1=

 Lực và từ thông móc vòng có thể là hàm của tất cả các biến.
và
8Bài giảng 5
 Tìm H1, H2, λ, và v, với các giả thiết sau: 1) µ = ∞ với lõi, 
2) g >> w, x >> 2w và 3) không có từ thông tản.
Ví dụ 4.1
( )( ) ( ) 022 2010 =− wdHwdH µµ
xg
NiHH
+
== 21
Dẫn đến
Chọn mặt kín thích hợp, áp dụng định luật Gauss
xg
Niwd
+
=Φ 02 µ
Rút ra từ thông (tính theo từ cảm B1 chẳng hạn):
9Bài giảng 5
Ví dụ 4.1 (tt)
Điện cảm (của hệ tuyến tính về điện)
( )
xg
Nwd
xL
+
=
2
02 µ
( ) ( ) dt
dx
xg
iNwd
dt
di
xg
Nwd
tv 2
2
0
2
0 22
+
−
+
=
µµ
Điện áp cảm ứng
xg
iNwdN
+
=Φ=
2
02 µλ
Từ thông móc vòng
10Bài giảng 5

 Vd. 4.2: Hình 4.7. Tìm λs, λr làm hàm của is, ir, và θ, và
tìm vs và vr của rôto hình trụ. Giả thiết µ = ∞, và g << R và l.
Hệ thống chuyển động quay
31 2 r
rrss
r Hg
iNiNH −=−= 42 2 r
rrss
r Hg
iNiNH −=+=
( )lRHNlRHNN rsrssss θpiµθµφλ −+== 2010
Có thể chứng minh được:
Sau khi tính được các cường độ từ trường, từ thông móc 
vòng được xác định bởi:
11Bài giảng 5

 Vd. 4.2 (tt)
Hệ thống chuyển động quay (tt)
Rút gọn thành
rrssss iLNNiLN 





−+=
pi
θλ 21002
Tương tự,
rrsrsr iLNiLNN 0
2
0
21 +





−=
pi
θλ
piθ <<0
piθ <<0
( ) ( ) ( )
dt
dMi
dt
di
M
dt
di
Ltv r
rs
ss
θθθ sincos −+=
Trong các máy thực tế, người thường chế tạo để
Tính đạo hàm các từ thông móc vòng sẽ có được điện áp.
12Bài giảng 5
 Tính λ1 và λ2 và xác định tự cảm và hỗ cảm cho hệ trong 
hình 4.14, dùng mạch từ tương đương.
Ví dụ 4.4
Rx Rx Rx
N2i2N1i1 Φ1 Φ2
2
00 W
x
A
xRx µµ
==
2111 2 Φ+Φ= xx RRiN
2122 2 Φ+Φ= xx RRiN
( )22112120111 23 iNNiNx
WN −=Φ= µλ
( )22212120222 23 iNiNNx
WN +−=Φ= µλ
13Bài giảng 5

 Lực fe = fe(i, x) = fe(λ, x) (vì i có thể được tính từ λ = λ(i, 
x)) với hệ có một cửa điện và một cửa cơ.

 fe luôn luôn tác động theo chiều dương của x.

 Xét hệ trong hình 4.17, được chuyển thành sơ đồ trong 
hình 4.18. Gọi Wm là năng lượng lưu trữ, theo nguyên tắc 
bảo toàn năng lượng (viết dưới dạng công suất)
Tính lực bằng khái niệm năng lượng
Tốc độ thay đổi
năng lượng lưu trữ
Công suất
điện đưa vào
Công suất
cơ lấy ra=
_
14Bài giảng 5
Tính lực bằng khái niệm năng lượng (tt)
dt
dxf
dt
di
dt
dxfvi
dt
dW eem
−=−=
λ
dxfiddW em −= λhay

 Một biến điện và một biến cơ có thể được chọn tùy ý, mà
không vi phạm các quy tắc vật lý của bài toán. Giả sử (λ, x) 
được chọn.

 Vì môi trường liên kết được bảo toàn, độ thay đổi năng 
lượng lưu trữ khi đi từ a đến b trong mặt phẳng λ – x là độc 
lập với đường lấy tích phân (hình 4.19).
15Bài giảng 5

 Với đường A
Tính lực (tt)
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=− b
a
b
a
dxidxxfxWxW b
x
x
a
e
aambbm
λ
λ
λλλλλ ,,,,

 Với đường B
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=− b
a
b
a
x
x
b
e
aaambbm dxxfdxixWxW ,,,, λλλλλ
λ
λ

 Cả hai phương pháp phải cho cùng kết quả. Nếu λa = 0, 
không có lực sinh ra bởi điện năng, khi đó đường A dễ tính 
hơn, với ( ) ( ) ( )∫=− b dxixWxW bambbm λ λλλ 0 ,,0,

 Có thể tổng quát hóa thành ( ) ( )∫= λ λλλ 0 ,, dxixWm
16Bài giảng 5

 Nhớ lại
Quan hệ lực và năng lượng
dxfiddW em −= λ

 Vì Wm = Wm(λ, x), vi phân của Wm có thể được biểu diễn
( ) ( ) dx
x
xWdxWdW mmm ∂
∂
+
∂
∂
=
,, λλλ
λ

 So sánh hai phương trình, cho ta
( )
λ
λ
∂
∂
=
xWi m ,
( )
x
xWf me
∂
∂
−=
,λ
17Bài giảng 5
 Tính fe(λ, x) và fe(i, x) của hệ thống trong ví dụ 4.1.
Ví dụ 4.5
gx
iL
gx
i
g
Nwd
xg
iNwdN
+
=
+
=
+
=Φ=
11
22
0
2
0
2
0 µµλ
( )gx
L
i += 1
0
λ
( ) ( ) ( )gx
L
dgx
L
dxiWm +=+== ∫∫ 12
1,
0
2
0
0
0
λλλλλ λλ
Để tính Wm, cần có i là một hàm của λ và x
Từ ví dụ 4.1
Tính được
18Bài giảng 5
Ví dụ 4.5 (tt)
( )
gL
x
x
Wf me
0
2
2
,
λλ −=
∂
∂
−=
( ) ( ) ( )2
2
0
2
0
22
0
12
1
12
,
gx
iL
gxgL
iL
xif e
+
−=
+
−=
Tính fe theo λ và g
Tính fe theo i và g (thay biểu thức của λ theo i và g vào)
19Bài giảng 5

 Để tính Wm(λ, x), cần có i = i(λ, x). Việc này có thể không 
dễ dàng. Có thể sẽ thuận tiện hơn nếu tính fe trực tiếp từ λ
= λ(i, x).
Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng
( ) diidid λλλ += ( ) diidid λλλ −=
( ) dxfdiiddW em −−= λλ ( ) dxfdiWid em +=− λλ

 Định nghĩa đồng năng lượng là
( )xiWWWi mmm ,'' ==−λ
⇒
⇒
20Bài giảng 5
Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng (tt)

 Lấy tích phân dW’m dọc đường Ob’b (hình 4.21), fe = 0 
dọc Ob’
( ) ( )∫= im dixixiW 0' ,, λ
dx
x
Wdi
i
WdW mmm ∂
∂
+
∂
∂
=
''
'

 Về mặt toán học,

 Do đó (từ slide 19)
( )
i
xiWm
∂
′∂
=
,λ ( )
x
xiWf me
∂
′∂
=
,
21Bài giảng 5
 Tìm fe cho hệ trong hình 4.22.
Ví dụ 4.8
Ni Riron
Rgap
Φ
A
l
R ciron µ
=
A
xRgap
0
2
µ
=
( )xR
NiNi
RR
Ni
A
x
A
l
gapiron
c
=
+
=
+
=Φ
0
2
µµ
( )xR
iNN
2
=Φ=λ ( ) ( )xR
iNdixiW
i
m 2
,
22
0
'
== ∫ λ
( ) ( )220
2222'
0
1
2
A
x
A
l
me
cA
iN
xRdx
diN
x
Wf
µµµ +
−=





=
∂
∂
=

 Từ thông móc vòng và đồng năng lượng

 Lực điện từ (sinh ra bởi điện năng)
22Bài giảng 5

 Trong các hệ tuyến tính (về điện), cả năng lượng lẫn 
đồng năng lượng đều bằng nhau về trị số. Trong hình 4.24,
Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng
( ) A Vùng ,
0
== ∫
λ λλ dxiWm ( ) B Vùng ,0' == ∫
i
m dixiW λ

 Nếu λ(i, x) là một hàm phi tuyến như minh họa trên hình 
4.25, khi đó hai diện tích sẽ không có trị số bằng nhau. Tuy 
nhiên, fe rút ra bằng năng lượng hay đồng năng lượng sẽ 
như nhau.
23Bài giảng 5
Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng

 Có thể chứng minh như sau.

 Trước tiên, giữ λ cố định, năng lượng Wm được giảm một 
lượng –∆Wm như trên hình 4.26(a) đối với việc tăng một 
lượng ∆x. Tiếp đó, giữ i không đổi, đồng năng lượng tăng 
một lượng ∆W’m khi x thay đổi 1 lượng ∆x. Lực điện từ (do 
điện năng sinh ra) trong cả hai trường hợp
x
Wf m
x
e
∆
∆
−=
→∆ 0
lim
x
Wf m
x
e
∆
∆
=
→∆
'
0
lim
24Bài giảng 5

 Xét một hệ có 2 cửa điện và 1 cửa cơ, với λ1 = λ1(i1, i2, x)
và λ2 = λ2(i1, i2, x). Tốc độ thay đổi năng lượng lưu trữ
Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ
dt
dxf
dt
di
dt
di
dt
dxfiviv
dt
dW eem
−+=−+= 22
1
12211
λλ
dxfdididW em −+= 2211 λλ
hay
( ) 221122112211 didiiiddidi λλλλλλ −−+=+
Xét
25Bài giảng 5
Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ (tt)
( ) dxfdidiWiid em ++=−+ 22112211 λλλλ
dxfdididW em ++= 2211' λλ
Như vậy,
'
mW
( ) ( ) ( )∫∫ += 21 0 '2'2120 '1'1121' ,,,0,,, iim dixiidixixiiW λλ
Sau cùng,
26Bài giảng 5

 Xét một hệ có N cửa điện và M cửa cơ, các từ thông móc 
vòng là λ1(i1, ..., iN, x1, ..., xM), ..., λN(i1, ..., iN, x1, ..., xM).
Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát
M
e
M
e
NNm dxfdxfididdW −−−++= ...... 1111 λλ
( ) ( ) ( )NNNNNN didiididiid λλλλλλ +++++=++ ......... 111111
∑∑∑
===
+=





−
M
i
i
e
i
N
i
ii
W
m
N
i
ii dxfdiWid
m
111
'
λλ
44 344 21

 Tương tự như với trường hợp có 2 cửa điện và 1 cửa cơ:
27Bài giảng 5
Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát (tt)
Ni
i
W
i
m
i ,...,1
'
=
∂
∂
=λ
Mi
x
Wf
i
me
i ,...,1
'
=
∂
∂
=

 Rút ra công thức tổng quát để tính từ thông móc vòng và
lực điện từ:
28Bài giảng 5

 Để tính W’m, việc tính tích phân được thực hiện trước tiên
dọc các trục xi, rồi dọc mỗi trục ii. Khi tính tích phân dọc xi, 
W’m = 0 vì fe bằng 0. Khi đó,
Tính đồng năng lượng W’m
( )
( )
( )∫
∫
∫
−
+
++
=
Ni
NMNNN
i
M
i
Mm
dixxxiiii
dixxxii
dixxxiW
0
'
21
'
121
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
'
,...,,,,...,,
...,...,,0,...,,
,...,,0,...,0,
2
1
λ
λ
λ
29Bài giảng 5
Tính đồng năng lượng W’m (tt)

 Chú ý các biến dùng để tính tích phân. Với trường hợp 
đặc biệt của hệ 2 cửa điện và 2 cửa cơ,
( ) ( )∫∫ += 21 0 '221'2120 '121'11' ,,,,,0, iim dixxiidixxiW λλ
Và,
1
'
1 dx
Wf me ∂=
2
'
2 dx
Wf me ∂=
30Bài giảng 5
 Tính W’m và mômen (do điện sinh ra) của một hệ 3 cửa 
điện và 1 cửa cơ, với các từ thông móc vòng cho trước.
Ví dụ 4.10
( )ψφλ −+= cos31111 MiiL ( )ψφλ −+= sin32222 MiiL
( ) ( )ψφψφλ −+−+= sincos 213333 MiMiiL
( ) ( ) ( )
( ) ( )ψφψφ
ψφλψφλψφλ
−+−+++=
++= ∫∫∫
sincos
2
1
2
1
2
1
,,,,,,0,,,,0,0,
3231
2
333
2
222
2
111
0
'
3
'
32130
'
2
'
2120
'
1
'
11
'
321
iMiiMiiLiLiL
diiiidiiidiiW
iii
m
Đồng năng lượng:
31Bài giảng 5
Mặc dù chỉ có 1 cửa cơ, hệ được mô tả bởi 2 biến cơ học 
(các góc quay). Do đó, các thành phần lực xoắn (mômen) là
Ví dụ 4.10 (tt)
( ) ( )ψφψφφφ −+−−=∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMiWT me
( ) ( )ψφψφ
ψψ
−−−=
∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMiWT me