Ảnh hưởng của phương pháp tính đạo hàm đến độ chính xác kết quả của bài toán động học robot giải bằng phương pháp grg trên robot chuỗi và robot song song

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 200(07): 169 - 174 
 Email: jst@tnu.edu.vn 169 
ẢNH HƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC 
KẾT QUẢ CỦA BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC ROBOT GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
GRG TRÊN ROBOT CHUỖI VÀ ROBOT SONG SONG 
Lê Thị Thu Thủy*, Phạm Thành Long, Vũ Thu Hà 
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Bài báo này bàn về ảnh hưởng của phương pháp tính đạo hàm đến độ chính xác kết quả nhận được 
khi giải bài toán động học robot dưới hình thức tối ưu. Phương pháp giải bàn đến trong bài báo là 
phương pháp Giảm Gradient tổng quát, trong đó có đối chứng độ chính xác kết quả trong hai tình 
huống là sử dụng phương pháp tính đạo hàm sử dụng sai phân tới và sai phân trung tâm trong điều 
kiện giữ nguyên các tùy chọn khác. Kết quả tính toán cho thấy với kiểu hàm mục tiêu Banana và 
hàm ràng buộc biến đổi chậm như bài toán này, cách tính đạo hàm theo sai phân trung tâm cho độ 
chính xác cao hơn đáng kể trên cả hai nhóm robot chuỗi và song song. 
Với bài toán động học robot giải bằng phương pháp số thì kết quả này có ý nghĩa rất quan trọng 
trong tính toán chuẩn bị dữ liệu. Kết luận này giúp tăng độ chính xác kết quả trong khi không tiêu 
tốn thêm tài nguyên phần cứng như Ram – chip máy tính. Bài báo này chỉ bàn đến phương pháp 
GRG khi bài toán gốc đã chuyển sang dạng tối ưu, với các phương pháp số khác có sử dụng đạo 
hàm thì kết luận này cần kiểm tra lại. 
Từ khóa: Động học robot, phương pháp GRG, sai phân tới, sai phân trung tâm, đạo hàm 
Ngày nhận bài: 02/4/2019;Ngày hoàn thiện: 07/5/2019;Ngày duyệt đăng: 07/5/2019 
EFFECTS OF DERIVATIVE METHODS TO THE ACCURACY OF 
RESULTS OF ROBOT KINEMATIC PROBLEMS USING GRG METHOD 
ON SERIAL AND PARALLEL ROBOTS 
Le Thi Thu Thuy
*
, Pham Thanh Long, Vu Thu Ha 
University of Technology - TNU
ABSTRACT 
This paper discusses the effect of derivative methods on the accuracy of results obtained when 
solving robot kinematic problems in an optimal form. The Generalized Reduced Gradient method 
is used. In particular, verifying the accuracy of results in two situations using the forward and 
central differential method is presented. Calculation results show that with the type of Banana 
objective function and the slow transformation constraint function such as this problem, the 
derivative calculation according to the central difference is significantly higher on both series and 
parallel robot groups. 
With robot kinematics problems solved by numerical methods, the results are very important 
significance in calculating data preparation. This conclusion helps increase the accuracy of results 
while not consuming more hardware resources such as RAM - chip computer. This paper only 
discusses the GRG method when the original problem has changed to the optimal form. With other 
numerical methods that use derivatives, this conclusion needs to be checked again. 
Keywords: Robot kinematics, GRG method, forward difference, central difference, derivation. 
Received: 02/4/2019; Revised: 07/5/2019; Approved: 07/5/2019 
* Corresponding author: Tel: 0982 567982, Email: hanthuyngoc@tnut.edu.vn 
Lê Thị Thu Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 169 - 174 
170  Email: jst@tnu.edu.vn 
1. Mở đầu 
Bài toán động học robot là căn cứ cơ bản để 
điều khiển chính xác robot theo ý đồ công 
nghệ, các kỹ thuật teach – in chỉ dùng cho các 
ứng dụng đòi hỏi độ chính xác không cao như 
hàn, phun sơn, vận chuyển trong khi kỹ 
thuật sử dụng camera chỉ thay thế cho việc 
xác định điểm đích chứ không thay thế cho 
việc giải bài toán động học. 
Về cơ bản không phải tất cả các kết cấu robot 
đều có lời giải bài toán động học dưới dạng 
giải tích nên việc xác định một phương pháp 
số thích hợp là giải pháp mang tính toàn diện 
nhất. Tuy nhiên trong số rất nhiều phương 
pháp số, các phương pháp nổi bật có thể kể 
đến là [1]: 
- Phương pháp Tsai – Morgan; 
- Phương pháp Raghavan & Roth; 
- Phương pháp loại trừ thẩm tách Sylvester; 
- Phương pháp Newton – Raphson; 
Với phương pháp Tsai – Morgan chỉ thích 
hợp với các hệ nhỏ, tức là chỉ phù hợp để giải 
các bài toán có ít bậc tự do. Phương pháp 
Raghavan & Roth cần sử dụng các đặc điểm 
riêng biệt của cấu trúc như cổ tay kết cầu cầu, 
các trục khớp đồng quy hoặc song song, các 
đặc điểm riêng này được sử dụng để làm suy 
biến hệ nhằm rút được nghiệm. Phương pháp 
loại trừ thẩm tách Sylvester sẽ biến hệ có n 
phương trình với n ẩn số thành một hệ 
phương trình một ẩn bậc n [1]. Đây là nhóm 
các phương pháp tập trung vào việc giải bài 
toán gốc, tức là giải một hệ phương trình siêu 
việt, phi tuyến do với bài toán động học robot 
các ẩn số đều nằm dưới các hàm siêu việt. 
Chính vì các khó khăn do tính thiếu tổng quát 
của các bài toán nói trên mà việc vận dụng 
mỗi phương pháp chỉ hiệu quả trên một nhóm 
nhỏ cấu trúc xác định dẫn đến nhu cầu cần có 
một phương pháp có thể khắc phục điều này. 
Nhóm phương pháp này có hai phương pháp: 
- Phương pháp giải bài toán gốc như 
phương pháp Newton – Raphson, tức là tập 
trung và việc giải các hệ phương trình phi 
tuyến, siêu việt [2]; 
- Phương pháp giải bài toán tương đương 
dưới dạng tối ưu [3,4] bằng phương pháp GRG; 
Nói riêng về nhóm phương pháp này, trong 
khi phương pháp Newton – Raphson rất khó 
để chọn giá trị xấp xỉ đầu hợp lý [4] thì 
phương pháp GRG không vấp phải vấn đề 
này trong tất cả các nhóm cấu trúc robot được 
thử nghiệm bao gồm cả robot chuỗi và robot 
song song. Như vậy có nghĩa là hướng 
chuyển bài toán gốc thành bài toán tối ưu để 
giải bằng phương pháp GRG có ưu thế kỹ 
thuật hơn, nhất là ở góc độ ứng dụng, phương 
pháp GRG chiếm ít thời gian chuẩn bị hơn 
[4]. Tuy nhiên ở góc độ kỹ thuật, bản thân 
phương pháp GRG là phương pháp có sử 
dụng đạo hàm [5] nên việc xem xét ảnh 
hưởng của cách tính đạo hàm đến độ chính 
xác kết quả nhận được trên các nhóm robot 
chuỗi và song song là cần thiết. 
2. Bài toán động học robot dưới hình thức tối ưu 
Xét sơ đồ công nghệ như hình 1: 
Hình 1a. Sơ đồ công nghệ Hình 1b. Sơ đồ vòng véc tơ ảo 
Hình 1. Sơ đồ công nghệ bài toán động học 
X
A6
A5
A4A3
A2
A1
P
zB
ODGO0
T
E
R
Ov
O0
A1
A2
A3
T
X
E
R
P
OV
ODG
O1
O2
On-1
On
An
joint spaces work space
base point
tool point
Lê Thị Thu Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 169 - 174 
 Email: jst@tnu.edu.vn 171 
Với sơ đồ vòng véc tơ ảo như trên hình 1b, 
phương trình động học khi cân bằng hai 
nhánh có dạng như sau: 
REXTAAA n ......21 (1) 
Dưới dạng khai triển, phương trình (1) có 
dạng ma trận cụ thể là: 
44434241
34333231
24232221
14131211
1000 aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
pasn
pasn
pasn
zzzz
yyyy
xxxx
 (2) 
Theo tính chất của hệ tọa độ đề các, các thành 
phần độc lập của nó trong ma trận cosin chỉ 
hướng được chọn cho phép xác định một hệ 
phương trình tương đương từ (2) như là (3): 
34
24
14
23
13
12
ap
ap
ap
aa
aa
as
z
y
x
y
x
x
 (3) 
Phương trình (3) được gọi là bài toán gốc, nó 
là bài toán mà các phương pháp như Tsai – 
Morgan, Sylvester, Raghavan & Roth cùng 
rất nhiều phương pháp khác tập trung tìm 
cách giải. Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề 
xuất mô hình sau đây: 
đặt 
2 2 2
12 13 23
2 2 2
14 24 34
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x y
x y z
L s a a a a a
p a p a p a
(4) 
bài toán dẫn xuất từ (3) có dạng mới là (5): 
 
bib
n
k
kij
UqL
aqqqfL
1
2
621 ))..,((min (5) 
Với Lb và Ub là giới hạn dưới và giới hạn trên 
của tọa độ suy rộng qi khi chọn nghiệm điều 
khiển. Bài toán (5) là đối tượng khảo sát bằng 
phương pháp GRG nói đến trong [5] và bài báo 
này đề cập đến tác dụng của phương pháp tính 
đạo hàm khác nhau với độ chính xác của nó. 
Vì toàn bộ vế trái của phương trình (4) không 
âm nên Min L = 0, giá trị này ứng với việc 
tìm được nghiệm của phương trình gốc (3). 
Giá trị cụ thể đạt được của hàm L ứng với 
cách tính sai phân khác nhau trong điều kiện 
giữ nguyên các tùy chọn khác khi giải (5) sẽ 
nói lên mức độ phù hợp của bản thân cách 
tính sai phân đó với dạng hàm L (hàm này có 
tên riêng là hàm Banana) và các ràng buộc 
dạng hộp thể hiện ở (5). 
3. Phương pháp tính đạo hàm và ảnh 
hưởng đến độ chính xác 
Xét bài toán lồi có ràng buộc tuyến tính sau: 
(LC) Min f(x) 
 sao cho Ax = b (6) 
x ≥ 0 
Các giả thuyết: 
 f là khả vi và liên tục; 
 Mỗi tập con của m cột của ma trận A 
cỡ 𝑚 × 𝑛 là độc lập tuyến tính; 
 Mỗi điểm cực trị của tập khả thi có ít 
nhất m phần tử dương (giả thuyết 
không suy biến). 
Hoàn toàn chứng minh được rằng theo giả 
thuyết không suy biến, mỗi 𝑥 ∈ ℱ có ít nhất 
m phần tử dương. 
Nếu 𝑥 ∈ 𝓕, gọi một tập gồm m cột B của A là 
một cơ sở nếu xi > 0 thì cột i là một cột của 
B. Chia x thành biến cơ sở 𝑥𝐵và các biến 
không cơ sở 𝑥𝑁 sao cho các biến cơ sở 
𝑥𝐵 > 0 tương ứng với các cột của B. Chú ý 
rằng 𝑥𝑁 không bắt buộc bằng 0. 
Để đơn giản các ký hiệu, giả thiết rằng có thể 
phân chia ma trận A thành A = [B, N] và phân 
chia x cho phù hợp, với 𝑥𝑇 = [𝑥𝐵, 𝑥𝑁]
𝑇. Do 
đó ta có thể viết lại Ax = b thành: 
𝐵𝑥𝐵 + 𝑁𝑥𝑁 = 𝑏 (7) 
Do đó 
𝑥𝐵 = 𝐵
−1𝑏 − 𝐵−1𝑁𝑥𝑁 (8) 
Với 𝑥 ∈ ℱ, chúng ta sẽ chọn B là các cột tương 
ứng với các thành phần lớn nhất m của x. 
Lê Thị Thu Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 169 - 174 
172  Email: jst@tnu.edu.vn 
Các biến cơ sở 𝑥𝐵 bây giờ có thể bị loại bỏ khỏi 
bài toán (6) để có được bài toán cực tiểu: 
min 𝑓𝑁(𝑥𝑁) 
 Sao cho 𝐵−1𝑏 − 𝐵−1𝑁𝑥𝑁 ≥ 0, 
 𝑥𝑁 ≥ 0, 
Trong đó 
 𝑓𝑁(𝑥𝑁) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐵
−1𝑏 − 𝐵−1𝑁𝑥𝑁, 𝑥𝑁) . 
Chú ý rằng bất kỳ hướng khả thi s đối với bài 
toán (LC) trong (6) đều phải thỏa mãn As = 0. 
Nếu chúng ta viết 𝑠𝑇 = [𝑠𝐵
𝑇 , 𝑠𝑁
𝑇] đối với một 
cơ sở B cho trước, điều kiện As = 0 có thể viết 
lại thành: 
𝐵𝑠𝐵 + 𝑁𝑠𝑁 = 0 
Giải phương trình này được: 
𝑠𝐵 = −(𝐵)
−1𝑁𝑠𝑁. (9) 
Chọn hướng tìm kiếm 
Nhắc lại rằng s là một hướng giảm của f tại 
𝑥 ∈ ℱ khi và chỉ khi ∇𝑓(𝑥)𝑇𝑠 < 0, điều này 
tương đương với: 
∇𝐵𝑓(𝑥)
𝑇𝑠𝐵 + ∇𝑁𝑓(𝑥)
𝑇𝑠𝑁 < 0 . 
Với∇𝐵𝑓(𝑥) là gradient tương ứng với các 
biến cơ sở, thay 𝑠𝐵 từ (9) có: 
∇𝑓(𝑥)𝑇𝑠 = (−∇𝐵𝑓(𝑥)
𝑇(𝐵)−1𝑁 + ∇𝑁𝑓(𝑥)
𝑇𝑠𝑁 . 
Gọi: 
𝑟 ≔ (−∇𝐵𝑓(𝑥)
𝑇(𝐵)−1𝑁 + ∇𝑁𝑓(𝑥)
𝑇)𝑇 
 (10) 
là gradient giảm của f tại x đối với B cơ sở. 
Như vậy: 
∇𝑓(𝑥)𝑇𝑠 = 𝑟𝑇𝑠𝑁 
Nói cách khác, gradient giảm r đóng vai trò 
tương tự trong bài toán giảm như gradient 
∇𝑓đã làm trong bài toán gốc (LC). Trên thực 
tế, gradient giảm này phụ thuộc vào cách tính 
đạo hàm theo ba phương án sau: 
- Sai phân tiến của f(x) là: f(x+1) - f(x) (11) 
- Sai phân lùi của f(x) là: f(x) - f(x-1) (12) 
- Sai phân trung tâm của f(x) là: 
f(x+1) – f(x-1) (13) 
4. Thực nghiệm với một số robot khác nhau 
Trong mục này, trên cùng một robot chúng tôi 
sẽ sử dụng tất cả các tùy chọn của bài toán tối 
ưu giống nhau chỉ thay đổi duy nhất cách tính 
đạo hàm giữa hai kiểu là tính theo sai phân tới 
(Forward Derivative) và tính theo sai phân 
trung tâm (Central Derivative) (hình 2). 
Hình 2. Các kiểu tính sai phân khác nhau trong 
bài toán tối ưu 
 Hai ví dụ minh họa áp dụng trên robot chuỗi 
và robot song song với những đặc thù riêng 
về động học nhằm thể hiện tính tổng quát của 
phương pháp tính. 
4.1 Robot chuỗi ba khâu phẳng 
Hình 3. Robot ba khâu phẳng. 
Lê Thị Thu Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 169 - 174 
 Email: jst@tnu.edu.vn 173 
Bảng 1. Các tình huống khảo sát với robot chuỗi 3 khâu phẳng 
T
T 
Tọa độ khảo sát Kết quả và Mục tiêu khi tính đạo 
hàm theo sai phân tới 
Kết quả và Mục tiêu khi tính đạo 
hàm theo sai phân trung tâm 
 px py sy q1 q2 q3 F q1 q2 q3 F 
1 169,110 152,779 0,442 0,348545 0,48210 0,288192 3,236E-05 0,345629 0,493245 0,273638 5,726E-23 
2 172 150 0,4404 0,346023 0,440432 0,328335 1,184E-08 0,346029 0,440414 0,328353 4,145E-19 
3 108,822 202,430 0,0752 0,762784 0,315676 0,40731 9,496E-05 0,773292 0,286074 0,436178 8,387E-23 
4 175,101 148,426 0,4867 0,348227 0,434055 0,285289 2,014E-05 0,345669 0,443502 0,27331 5,173E-19 
5 153 167 0,4325 0,392765 0,648832 0,094716 0,0001343 0,391422 0,662549 0,069528 7,563E-21 
6 167 158 0,4752 0,392792 0,492597 0,191011 4,948E-07 0,392544 0,493774 0,1892869 1,229E-20 
7 143 174 0,326 0,434008 0,625408 0,18876 8,007E-05 0,43179 0,6377764 0,1691607 1,466E-20 
8 131,062 182,809 0,1454 0,543926 0,448796 0,429849 5,566E-06 0,545694 0,4433907 0,435807 1,56E-25 
9 111,756 205,109 0,2830 0,773358 0,444268 0,068117 1,201E-05 0,773211 0,4462032 0,064457 4,519E-23 
10 115 200 0,2353 0,694581 0,495896 0,147451 2,018E-05 0,693512 0,5020219 0,137776 2,668E-18 
4.2 Robot song song Stewart Platform 6 DOF 
Hình 4. Robot song song Stewart Platform. 
Bảng 2. Các tình huống khảo sát với robot song song Stewart Platform. 
tt px py pz 
Mục tiêu khi tính đạo 
hàm theo sai phân tiến 
Mục tiêu khi tính đạo hàm theo 
sai phân trung tâm 
1 -12,2189 -42,5601 37,7077 4,03E-06 6,29E-17 
2 -17,612 -30,4753 28,3159 3,79E-06 8,6E-18 
3 -21,4866 -15,9871 22,1692 3,63E-06 1,04E-17 
4 -22,918 0 20 3,76E-06 7,27E-18 
5 -21,4866 15,9871 22,1692 3,44E-06 2,53E-18 
6 -17,6012 30,4753 28,3159 2,92E-06 1,02E-16 
7 -12,2198 42,5601 37,7077 2,81E-06 1,97E-17 
8 -6,5051 51,8158 49,75 3,44E-06 3,08E-16 
9 -1,866 57,8461 64,0681 2,98E-06 2,76E-17 
10 0 60 80 3,31E-06 1,66E-17 
Các thực nghiệm trên các nhóm robot chuỗi 
và song song khác nhau đã chỉ ra rằng giải 
theo phương pháp sai phân trung tâm cho độ 
chính xác kết quả cao hơn so với giải theo sai 
phân tiến. 
5. Kết luận 
Với bài toán có các ràng buộc tuyến tính thay 
đổi chậm như bài toán động học robot với 
hàm mục tiêu ở dạng Banana và dùng thuật 
toán GRG để giải quyết thì sai phân trung tâm 
sẽ cho độ chính xác kết quả cao hơn. Cần phải 
lưu ý điều này khi tính toán bài toán động học 
của robot công nghiệp (có thể áp dụng cho 
robot chuỗi, robot lai, robot song song, kể cả 
robot hụt hay dư dẫn động). Sai phân tiến chỉ 
được dùng trong trường hợp các ràng buộc 
của hàm mục tiêu biến đổi nhanh và khi thuật 
toán báo không thể cải tiến kết quả thu được. 
Lê Thị Thu Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 200(07): 169 - 174 
174  Email: jst@tnu.edu.vn 
6. Lời cảm ơn 
Nhóm tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường 
đại học Kỹ thuật Công Nghiệp – ĐH Thái 
Nguyên đã tài trợ kinh phí cho nghiên cứu 
này thông qua đề tài mã số T2019-B07. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control 
of robot manipulator in joint space, Springer-
Verlag London Limited, 2005. 
[2]. Biên dịch Trần Thế San, Cơ sở nghiên cứu và 
sáng tạo robot, Nxb Thống kê, 2005. 
[3]. Trang Thanh Trung, Li Wei Guang and Pham 
Thanh Long, “A New Method to Solve the 
Kinematic Problem of Parallel Robots Using an 
Equivalent Structure,” Int. Conf. Mechatronics 
Autom. Sci. 2015) Paris, Fr., pp. 641–649, 2015. 
[4]. Trang Thanh Trung, Optimization analysis 
method of parallel manipulator kinematic model, a 
dissertation submitted for the degree of doctor, 
South China university of Technology 
Guangzhou, China 2018. 
[5]. L. S. Lasdon, A. D. Warren, A. Jain, and M. 
Ratner, “Design and Testing of a generalized 
reduced gradient code for nonlinear 
Programming”, ACM Trans. Math. SoftWare, 4, 
(1), pp. 34-50, 1978.